5.4: Auto-oscilaciones y bloqueo de fase

La motivación para que B. van der Pol desarrollara su método fue el análisis de un tipo más de movimiento oscilatorio: las auto-oscilaciones. Varios sistemas, por ejemplo, amplificadores electrónicos de rf con retroalimentación positiva y medios ópticos con inversión de población a nivel cuántico, proporcionan medios convenientes para la compensación, e incluso sobrecompensación de las pérdidas de energía intrínseca en los osciladores. Fenomenológicamente, este efecto puede describirse como el cambio de signo del coeficiente de amortiguación\(\delta\) de positivo a negativo. Dado que para pequeñas oscilaciones la ecuación de movimiento sigue siendo lineal, podemos usar la ecuación (9) para describir su solución general. Esta ecuación muestra que en\(\delta<0\), incluso las desviaciones infinitesimales del equilibrio (digamos, debido a fluctuaciones inevitables) conducen a oscilaciones con amplitud exponencialmente creciente. Por supuesto, en cualquier sistema real tal crecimiento no puede persistir infinitamente, y estará limitado por tal o cual efecto -por ejemplo, en los ejemplos anteriores, respectivamente, por la saturación del amplificador y el agotamiento de la población a nivel cuántico.

En muchos casos, la limitación de amplitud puede describirse razonablemente bien haciendo el siguiente reemplazo:\[2 \delta \ddot{q} \rightarrow 2 \delta \dot{q}+\beta \dot{q}^{3},\] con\(\beta>0\). Analicemos los efectos de tal amortiguamiento no lineal, aplicando el enfoque de van der Pol a la ecuación diferencial homogénea correspondiente (que también se conoce bajo su nombre):\[\ddot{q}+2 \delta \ddot{q}+\beta \dot{q}^{3}+\omega_{0}^{2} q=0 \text {. }\] Llevar a cabo los términos disipativos y desafinadores hacia el lado derecho, y tomándolos por\(f\) en el canónica Eq. (38), podemos calcular fácilmente los lados de la derecha de las ecuaciones reducidas (57a), obteniendo 22\[\begin{gathered} \dot{A}=-\delta(A) A, \quad \text { where } \delta(A) \equiv \delta+\frac{3}{8} \beta \omega^{2} A^{2}, \\ A \dot{\varphi}=\xi A . \end{gathered}\] La última de estas ecuaciones tiene exactamente la misma forma que la Ec. (58b) para el caso de oscilaciones en descomposición y por lo tanto muestra que las auto-oscilaciones (si suceden, es decir, si\(A \neq 0\)) tienen la propia frecuencia\(\omega_{0}\) del oscilador - cf. Ec. (59). Sin embargo, la Ec. (63a) es más sustantiva. Si el amortiguamiento inicial\(\delta\) es positivo, solo tiene el punto fijo trivial,\(A_{0}=0\) (que describe el oscilador en reposo), pero si\(\delta\) es negativo, también hay otro punto fijo,

\[A_{1}=\left(\frac{8|\delta|}{3 \beta \omega^{2}}\right)^{1 / 2}, \quad \text { for } \delta<0\]que describe auto-oscilaciones constantes con una amplitud distinta de cero\(A_{1}\).

Apliquemos el enfoque general discutido en la Sec. 3.2, la linealización de ecuaciones de movimiento, a esta ecuación reducida. Para el punto fijo trivial\(A_{0}=0\), la linealización de la ecuación (63a) se reduce a descartar el término no lineal en la definición de la amortiguación dependiente de la amplitud\(\delta(A)\). La ecuación lineal resultante muestra evidentemente que el punto de equilibrio del sistema\(A=A_{0}=0\),, es estable\(\delta>0\) e inestable en\(\delta<0\). (Ya hemos discutido anteriormente esta condición de autoexcitación.) Por otro lado, la linealización de cerca del punto fijo no trivial\(A_{1}\) requiere un poco más matemática: en primer orden en\(\widetilde{A} \equiv A-A_{1} \rightarrow 0\), obtenemos\[\dot{\widetilde{A}} \equiv \dot{A}=-\delta\left(A_{1}+\widetilde{A}\right)-\frac{3}{8} \beta \omega^{2}\left(A_{1}+\widetilde{A}\right)^{3} \approx-\delta \widetilde{A}-\frac{3}{8} \beta \omega^{2} 3 A_{1}^{2} \widetilde{A}=(-\delta+3 \delta) \widetilde{A}=2 \delta \widetilde{A},\] donde se ha utilizado la Eq. (64) para eliminar\(A_{1}\). Vemos que el punto fijo\(A_{1}\) (y de ahí todo el proceso) es estable tan pronto como existe de\((\delta<0)-\) manera similar a la situación en nuestro “problema testbed” (Figura 2.1), además de que en nuestro actual sistema disipativo, la estabilidad es “real” en lugar de “orbital” - ver Sec. 6 para más información sobre este tema.

Ahora consideremos otro problema importante: el efecto de una fuerza sinusoidal externa sobre un oscilador autoexcitado. Si la fuerza es suficientemente pequeña, sus efectos sobre la condición de autoexcitación y la amplitud de oscilación son despreciables. Sin embargo, si la frecuencia\(\omega\) de una fuerza tan débil es cercana a la propia frecuencia\(\omega_{0}\) del oscilador, puede llevar a un efecto muy importante de bloqueo de fase\(^{23}\) -también llamado la “sincronización”, aunque este último término también tiene un significado mucho más amplio. Ante este efecto, la frecuencia de oscilación se desvía de\(\omega_{0}\), y se vuelve exactamente igual a la frecuencia de la fuerza externa\(\omega\), dentro de un cierto rango\[-\Delta \leq \omega-\omega_{0}<+\Delta .\] Para probar este hecho, y también para calcular el ancho del rango de bloqueo de fase\(2 \Delta\), podemos repetir el cálculo de la mano derecha lados de las ecuaciones reducidas (57a), agregando el término\(f_{0} \cos \omega t\) al lado derecho de la ecuación (62) - cf. Eq. (42) - (43). Esta adición modifica las ecuaciones (63) de la siguiente manera: 24\[\begin{aligned} &\dot{A}=-\delta(A) A+\frac{f_{0}}{2 \omega} \sin \varphi, \\ &A \dot{\varphi}=\xi A+\frac{f_{0}}{2 \omega} \cos \varphi . \end{aligned}\] Si el sistema es autoexcitado, y la fuerza externa es débil, su efecto sobre la amplitud de oscilación es pequeño, y en la primera aproximación en\(f_{0}\) podemos tomar\(A\) para ser constantes e iguales al valor\(A_{1}\) dado por la Ec. (64). Conectando esta aproximación a la ecuación (67b), obtenemos una ecuación muy simple\({ }^{25}\)

\[\ \text{Phase locking equation}\quad\quad\quad\quad\dot{\varphi}=\xi+\Delta \cos \varphi\]

donde en nuestro caso actual\[\Delta \equiv \frac{f_{0}}{2 \omega A_{1}} .\] Dentro del rango\(-|\Delta|<\xi<+|\Delta|\), la Eq. (68) tiene dos puntos fijos en cada\(2 \pi\) segmento de la variable\(\varphi\):\[\varphi_{\pm}=\pm \cos ^{-1}\left(-\frac{\xi}{\Delta}\right)+2 \pi n .\] Es fácil linealizar la Eq. (68) cerca de cada punto para analizar su estabilidad de nuestra manera habitual; sin embargo, permítanme usar este caso para demostrar otro manera conveniente de hacer esto en sistemas 1D, utilizando el llamado plano de fase - la gráfica del lado derecho de la Ec. (68) en función de\(\varphi\) - ver Figura 5.

Figura 5.5. El plano de fase de un oscilador faselocked, para el caso particular\(\xi=\Delta / 2, f_{0}>0\).

Ya que de acuerdo con la Ec. (68), los valores positivos de esta función corresponden al crecimiento de\(\varphi\) en el tiempo y viceversa, podemos dibujar las flechas que muestran la dirección de la evolución de fase. A partir de esta gráfica, queda claro que uno de estos puntos fijos (for\(f_{0}>0, \varphi_{+}\)) es estable, mientras que su contraparte (en este caso,\(\varphi\).) es inestable. De ahí que la magnitud de\(\Delta\) dada por la Ec. (69) es de hecho el rango de bloqueo de fase (o más bien la mitad) que queríamos encontrar. Tenga en cuenta que el rango es proporcional a la amplitud de la señal de bloqueo de fase, quizás la característica más importante de este efecto.

Para completar nuestro análisis simple, basado en el supuesto de amplitud de oscilación fija, necesitamos encontrar la condición de su validez. Para eso, podemos linealizar la Eq. (67a), para el caso estacionario, cerca del valor\(A_{1}\), tal como lo hemos hecho en la Ec. (65) para el proceso transitorio. El resultado estacionario,\[\widetilde{A} \equiv A-A_{1}=\frac{1}{2|\delta|} \frac{f_{0}}{2 \omega} \sin \varphi_{\pm} \approx A_{1}\left|\frac{\Delta}{2 \delta}\right| \sin \varphi_{\pm},\] muestra que nuestra suposición\(|\widetilde{A}|<<A_{1}\), y por lo tanto el resultado final (69), son válidos si el rango calculado de phaselocking\(2 \Delta\) es mucho menor que\(4|\delta|\).

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\({ }^{22}\)Para eso, se necesita usar la identidad trigonométrica\(\sin ^{3} \Psi=(3 / 4) \sin \Psi-(1 / 4) \sin 3 \Psi-\) ver, por ejemplo, MA Eq. (3.4).

\({ }^{23}\)Al parecer, el bloqueo mutuo de fase de dos relojes de péndulo fue notado por primera vez por el mismo\(C\). Huygens.

\({ }^{24}\)En realidad, este resultado debería ser evidente, incluso sin cálculos, a partir de la comparación de las ecuaciones (60) y (63).

\({ }_{25}\)Esta ecuación es omnipresente en los sistemas de bloqueo de fase, incluyendo incluso algunos circuitos electrónicos digitales utilizados para ese propósito, en la correcta redefinición de la diferencia de fase\(\varphi\).