10.4: La ecuación de Hamilton-Jacobi

La acción\(S\), definida por la Ec. (47), puede ser utilizada para una formulación analítica más de la mecánica clásica. Para ello, necesitamos hacer un compromiso más, diferente:\(S\) tiene que ser considerado una función de los siguientes argumentos independientes: el punto temporal final\(t_{\text {fin }}\) (que voy a denotar, por brevedad, como\(t\) en esta sección), y el conjunto de coordenadas generalizadas (pero no de las generalizadas ¡velocidades!) en ese punto:\[S \equiv \int_{t_{\mathrm{ini}}}^{t} L d t=S\left[t, q_{j}(t)\right]\] Calculemos la variación de esto (desde el punto de vista variacional, ¡nuevo!) , resultante de una combinación arbitraria de variaciones de los valores finales\(q_{j}(t)\) de las coordenadas mientras se mantiene\(t\) fija. Formalmente esto se puede hacer repitiendo los cálculos variacionales descritos por las ecuaciones (49) - (51), además de que ahora las variaciones\(\delta q_{j}\) en el punto finito\((t)\) no necesariamente son iguales a cero. Como resultado, obtenemos\[\delta S=\left.\sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \delta q_{j}\right|_{t}-\int_{t_{\mathrm{ini}}}^{t} d t \sum_{j}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right] \delta q_{j} .\] Para el movimiento a lo largo de la trayectoria real, es decir, satisfaciendo las ecuaciones de Lagrange, el segundo término de esta expresión es igual a cero. De ahí la Eq. (65) muestra que, para (cualquier) tiempo fijo\(t\),\[\frac{\partial S}{\partial q_{j}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} .\] Pero la última derivada no es otra cosa que el impulso generalizado\(p_{j}-\) ver la Ec. (2.31), de manera que\[\frac{\partial S}{\partial q_{j}}=p_{j} .\] (Como recordatorio, ambas partes de esta relación se refieren al momento final\(t\) de la trayectoria.) En consecuencia, la derivada completa de la acción a\(S\left[t, q_{j}(t)\right]\) lo largo del tiempo toma la forma\[\frac{d S}{d t}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_{j} \frac{\partial S}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j} .\] Ahora, por la definición misma (64), la derivada completa no\(d S / d t\) es más que la función\(L\), de manera que la Eq. (67) rinde\[\frac{\partial S}{\partial t}=L-\sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j} .\] Sin embargo, según la definición ( 2) de la función hamiltoniana\(H\), el lado derecho de la ecuación (69) es justo\((-H)\), así que obtenemos una ecuación Hamilton-Jacobi de aspecto extremadamente simple\[\frac{\partial S}{\partial t}=-H \text {. }\] Esta simplicidad es, sin embargo, bastante engañosa, porque para usar esta ecuación para el cálculo de la función \(S\left(t, q_{i}\right)\)para cualquier problema en particular, la función hamiltoniana tiene que expresarse primero en función del tiempo\(t\), las coordenadas\(q_{j}\) generalizadas y el momento generalizado\(p_{j}\) (que puede ser, según la Ec. (67), representado solo como derivadas\(\partial S / \partial q_{j}\)). Veamos cómo funciona este procedimiento para el caso más sencillo de un sistema 1D con la función hamiltoniana dada por la Ec. (10). En este caso, el único impulso generalizado es\(p=\partial S / \partial q\), de manera que\[H=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+U_{\mathrm{ef}}(q, t)=\frac{1}{2 m_{\mathrm{ef}}}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+U_{\mathrm{ef}}(q, t),\] y la Ec. (70) se reduce a una ecuación diferencial parcial,\[\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2 m_{\mathrm{ef}}}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+U_{\mathrm{ef}}(q, t)=0 .\] Su solución se puede encontrar fácilmente en el caso más fácil de energía potencial independiente del tiempo\(U_{\text {ef }}=\)\(U_{\text {ef }}(q)\). En este caso, la Ec. (72) está evidentemente satisfecha por la siguiente solución separada por variables:\[S(t, q)=S_{0}(q)+\text { const } \times t .\] Taponando esta solución en la Eq. (72), vemos que dado que la suma de los dos últimos términos en el lado izquierdo de esa ecuación representa la energía mecánica completa\(E\), la constante en la Eq. (73) no es más que (-E). Así para la función\(S_{0}(q)\) obtenemos una ecuación diferencial ordinaria\[-E+\frac{1}{2 m_{\mathrm{ef}}}\left(\frac{d S_{0}}{d q}\right)^{2}+U_{\mathrm{ef}}(q)=0 .\] Integrándola, obtenemos\[S_{0}=\int\left\{2 m_{\mathrm{ef}}\left[E-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]\right\}^{1 / 2} d q+\text { const }\] para que, finalmente, la acción sea igual a\[S=\int\left\{2 m_{\mathrm{ef}}\left[E-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]\right\}^{1 / 2} d q-E t+\text { const. }\] Para el caso de movimiento 1D de una sola partícula 1D, es decir, para\(q=x, m_{\mathrm{ef}}=m, U_{\mathrm{ef}}(q)=U(x)\), esta solución es justa el caso 1D de las ecuaciones más generales. (59) - (60), que se obtuvieron anteriormente de una manera mucho más sencilla. (En particular,\(S_{0}\) es sólo la acción abreviada.)

Este caso particular ilustra que la ecuación de Hamilton-Jacobi no es la forma más eficiente para la solución de la mayoría de los problemas prácticos de la mecánica clásica. Sin embargo, puede ser bastante útil para estudios de ciertos aspectos matemáticos de la dinámica. \({ }^{22}\)Además, a principios de la década de 1950 este enfoque se extendió a un campo completamente diferente -la teoría del control óptimo, en la que el papel de la acción\(S\) lo juega la llamada función de costo- un cierto funcional de un sistema (entendido en un sentido muy general de este término), que debería ser minimizado por una elección óptima de una señal de control, una función del tiempo que afecta la evolución del sistema en el tiempo. Desde el punto de vista de esta teoría matemática, la Ec. (70) es un caso particular de una ecuación más general de Hamilton-Jacobi-Bellman. \({ }^{23}\)

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\({ }^{23}\)Véase, por ejemplo, los capítulos 6-9 en I. C. Percival y D. Richards, Introducción a la dinámica, Cambridge U. Press, 1983.

\({ }^{24}\)Véase, por ejemplo, T. Bertsekas, Programación Dinámica y Control Óptimo, vols. 1 y 2, Aetna Scientific, 2005 y 2007. El lector no debe dejarse intimidar por el término muy antinatural “programación dinámica”, que fue inventado por el padre fundador de este campo, Richard Ernest Bellman, para atraer a los burócratas gubernamentales a financiar su investigación, considerada demasiado teórica en ese momento. (Actualmente, tiene una amplia gama de aplicaciones importantes.)