27.2: Velocidad angular y energía en términos de ángulos de Euler

Dado que la posición está definida de manera única por los ángulos de Euler, la velocidad angular es expresable en términos de estos ángulos y sus derivadas.

La estrategia aquí es encontrar los componentes de velocidad angular a lo largo de los ejes\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { of } \dot{\theta}, \dot{\phi}, \dot{\psi}\) del cuerpo a su vez. Una vez que tenemos los componentes de velocidad angular a lo largo de los ejes principales, la energía cinética es fácil.

Nota

Podrías estar pensando: espera un minuto, ¿no están los ejes incrustados en el cuerpo? ¿No se vuelven con él? ¿Cómo se puede hablar de rotación sobre estos ejes? Buen punto: lo que estamos haciendo aquí es encontrar los componentes de la velocidad angular alrededor de un conjunto de ejes fijos en el espacio, no el cuerpo, sino coincidiendo momentáneamente con los ejes principales del cuerpo.

\ [\ begin {aligned}
&\ text {Del diagrama,}\ dot {\ theta}\ text {está a lo largo de la línea} O N,\ text {y por lo tanto en el} x_ {1}, x_ {2}\ text {plano: observe que está en ángulo} -\ psi\ text {con respecto a}\\
&x_ {1}. \ text {Sus componentes son por lo tanto}\ vec {\ theta} = (\ punto {\ theta}\ cos\ psi, -\ punto {\ theta}\ sin\ psi, 0)
\ end {alineado}\]

Ahora\(\dot{\phi}\) se trata del eje Z. El eje principal\(x_{3}\) está en ángulo\(\theta\) con el eje Z, por lo que\(\dot{\phi}\) tiene\(\dot{\phi} \cos \theta \text { about } x_{3}, \text { and } \dot{\phi} \sin \theta \text { in the } x_{1}, x_{2}\) plano componente, este último componente a lo largo de una línea perpendicular a ON, y por lo tanto en ángulo\(-\psi \text { from the } x_{2} \text { axis. Hence } \vec{\phi}=(\dot{\phi} \sin \theta \sin \psi, \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi, \dot{\phi} \cos \theta)\).

La velocidad angular ya\(\dot{\psi}\) está a lo largo de un eje principal,\(x_{3}\).

En resumen, las velocidades angulares del ángulo de Euler (componentes a lo largo de los ejes principales del cuerpo) son:

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {\ vec {\ theta}} =(\ punto {\ theta}\ cos\ psi, -\ punto {\ theta}\ sin\ psi, 0)
\\ punto {\ vec {\ phi}} = (\ punto {\ phi}\ sin\ theta\ psi,\ punto {\ phi}\ sin\ theta\ cos\ psi,\ punto {\ phi}\ cos\ theta)\
\ punto {\ psi} =( 0,0,\ punto {\ psi})
\ end {array}\]

desde donde, los componentes de velocidad angular a lo largo de esos ejes en el cuerpo\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \text { are: }\)

\ [\ comenzar {alineado}
\ Omega_ {1} &=\ punto {\ phi}\ sin\ theta\ sin\ psi+\ punto {\ theta}\ cos\ psi\
\ Omega_ {2} &=\ punto {\ phi}\ sin\ theta\ cos\ psi-\ punto {\ theta}\ sin\ psi\
\ omega_ {3} &= punto {\ phi}\ cos\ theta+\ punto {\ psi}
\ final {alineado}\]

Para una cima simétrica, es decir\(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\), la energía cinética rotacional es por lo tanto

\(T_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3} \Omega_{3}^{2}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\phi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}\)

Para este caso simétrico, como señala Landau, podríamos haber tomado el\(x_{1}\) eje momentáneamente a lo largo de la línea de nodos ON, dando

\(\vec{\Omega}=(\dot{\theta}, \dot{\phi} \sin \theta, \dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})\)