27.3: Movimiento libre de una parte superior simétrica
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Como calentamiento al usar los ángulos de Euler, reharemos la parte superior simétrica libre cubierta en la última conferencia. Sin pares externos que actúen la parte superior tendrá un momento angular constante\(\vec{L}\).
Tomaremos\(\vec{L}\) en dirección Z fija. El eje de la parte superior está a lo largo\(x_{3}\).
Tomando el\(x_{1}\) eje a lo largo de la línea de nodos ON (Figura\(\PageIndex{1}\)) en el instante considerado, la constante angular
\[\begin{align*} \vec{L} &=\left(I_{1} \Omega_{1}, I_{1} \Omega_{2}, I_{3} \Omega_{3}\right) \\[4pt] &=\left(I_{1} \dot{\theta}, \quad I_{1} \dot{\phi} \sin \theta, \quad I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})\right) \end{align*}\]
Recuerde, este nuevo\(x_{1}\) eje (Figura\(\PageIndex{1}\)) es perpendicular al eje Z que hemos tomado\(\vec{L} \text { along, so } L_{1}=I_{1} \dot{\theta}=0\), y\(\theta\) es constante, lo que significa que el eje principal\(x_{3}\) describe un cono alrededor del vector de momento angular constante\(\vec{L}\). El índice de precesión se desprende de la constancia de\(L_{2}=I_{1} \dot{\phi} \sin \theta\). Escribiendo la magnitud absoluta del momento angular como L,\(L_{2}=L \sin \theta\) (recuerde que L está en la dirección Z, y\(x_{1}\) está momentáneamente a lo largo de ON) por lo que la tasa de precesión\(\dot{\phi}=L / I_{1}\). Finalmente, el componente de\(\vec{L}\) lo largo del\(x_{3}\) eje de simetría de la parte superior es\(L \cos \theta=I_{3} \Omega_{3}\), por lo que el giro de la parte superior a lo largo de su propio eje es\(\Omega_{3}=\left(L / I_{3}\right) \cos \theta\).