27.4: Movimiento de la parte superior simétrica alrededor de una base fija con gravedad - Nutación

Denotando la distancia del centro de masa desde el punto inferior fijo P como\(ℓ\) (a lo largo del eje) el momento de inercia alrededor de una línea perpendicular al eje en el punto base es

\[I_{1}^{\prime}=I_{1}+M \ell^{2}\]

\(\left(I_{1}\right.\)siendo habitual centro de masas momento.)

El lagrangiano es (siendo P el origen,\(I_{3}\) en dirección\(\theta, \phi)\)

\[L=\frac{1}{2} I_{1}^{\prime}\left(\dot{\phi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}-M g \ell \cos \theta\]

Observe que las coordenadas\(\psi, \phi\) no aparecen explícitamente, por lo que hay dos constantes de movimiento:

\ [\ begin {array} {l}
p_ {\ psi} =\ parcial L/\ parcial\ punto {\ psi} =I_ {3} (\ punto {\ phi}\ cos\ theta+\ punto {\ psi}) =L_ {3}\
p_ {\ phi} =\ parcial L/\ parcial\ punto {\ phi} =\ izquierda (I_ {1} ^\ prime}\ sin ^ {2}\ theta+i_ {3}\ cos ^ {2}\ theta\ derecha)\ punto {\ phi} +I_ {3}\ punto {\ psi}\ cos\ theta = L_ {Z}
\ fin {matriz}\]

Es decir,\(x_{3}\) se conserva el momento angular alrededor, debido a que las dos fuerzas que actúan en la parte superior, la atracción gravitacional en el centro de masa y la reacción del piso en el punto inferior, ambas actúan a lo largo de líneas que intersectan el eje, por lo que nunca se tendrá par alrededor\(x_{3}\). El momento angular alrededor de Z se conserva debido a que el par gravitacional actúa perpendicular a esta línea.

Tenemos dos ecuaciones lineales\(\dot{\psi}, \dot{\phi}\) con coeficientes dependiendo de\(\theta\) y las dos constantes de movimiento\(L_{3}, L_{Z}\). La solución es sencilla, dando

\[\dot{\phi}=\frac{L_{Z}-L_{3} \cos \theta}{I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}\]

y

\[ \dot{\psi}=\frac{L_{3}}{I_{3}}-\cos \theta\left(\frac{L_{Z}-L_{3} \cos \theta}{I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}\right)\]

La energía (conservada)

\ [\ begin {align} E &=\ frac {1} {2} I_ {1} ^ {\ prime}\ izquierda (\ Omega_ {1} ^ {2} +\ Omega_ {2} ^ {2}\ derecha) +\ frac {1} {2} I_ {3}\ Omega_ {3} ^ {2} +M g\ ell\ cos\ theta\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2} I_ {1} ^ {\ prime}\ izquierda (\ punto {\ phi} ^ {2}\ sin ^ {2}\ theta+\ punto {\ theta} ^ {2}\ derecha) +\ frac {1} {2} I_ {3} (\ punto {\ phi}\ cos\ theta+\ punto {\ psi }) ^ {2} +M g\ ell\ cos\ theta
\ end {align}\]

Usando las constantes de movimiento para expresar\(\dot{\psi}, \dot{\phi}\) en términos de\(\theta\) y las constantes\(L_{Z}, L_{3}\), luego restando un término\(\theta\) independiente para reducir el desorden,

\[E^{\prime}=E-M g \ell-\left(L_{3}^{2} / 2 I_{3}\right)\]

tenemos

\[\begin{align*} E^{\prime} &= \frac{1}{2} I_{1}^{\prime} \dot{\theta}^{2}+V_{\mathrm{eff}}(\theta), \quad V_{\mathrm{eff}}(\theta) \\[4pt] &=\frac{\left(L_{Z}-L_{3} \cos \theta\right)^{2}}{2 I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}-M g \ell(1-\cos \theta) \end{align*}\]

El rango de movimiento en\(\theta\) viene dado por\(E^{\prime}>V_{\mathrm{eff}}(\theta) . \text { For } L_{3} \neq L_{Z}, V_{\mathrm{eff}}(\theta)\) va al infinito en\(\theta=0, \pi\) Tiene un solo mínimo entre estos puntos. (Esto no es completamente obvio, una forma de verlo es cambiar la variable a\(u=\cos \theta\), siguiendo a Goldstein. Multiplicar por\(\sin ^{2} \theta\), y escribir\(\dot{\theta}^{2} \sin ^{2} \theta=\dot{u}^{2}\) da una partícula unidimensional en un problema potencial, y el potencial es un cúbico en\(u\). Por supuesto algunas raíces de\(E^{\prime}=V_{\mathrm{eff}}(\theta)\) podrían estar en la región no física\(|u|>1\). En cualquier caso, hay como máximo tres raíces, por lo que dado que el potencial es positivo e infinito a\(\theta=0, \pi\) lo sumo tiene dos raíces en el rango físico.)

A partir de la partícula unidimensional en una analogía potencial, es claro que\(\theta\) oscila entre estos dos puntos\(\theta_{1} \text { and } \theta_{2}\). Esta oscilación se llama nutación. Ahora

\[\dot{\phi}=\left(L_{Z}-L_{3} \cos \theta\right) / I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta\]

podría cambiar de signo durante esta oscilación, dependiendo de si el ángulo\(\cos ^{-1}\left(L_{Z} / L_{3}\right)\) está o no en el rango. Visualizando la trayectoria del punto central superior sobre una superficie esférica centrada en el punto fijo, a medida que va a su alrededor oscila hacia arriba y hacia abajo, pero si hay este cambio de signo, “recorrerá el bucle”, yendo hacia atrás en la parte superior del bucle.