27.5: Pcesión Constante
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¿Bajo qué condiciones una copa, girando bajo gravedad, precederá a un ritmo constante? La constancia de\(L_{3}\),\(L_{Z}\) significa eso\(\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}\), y\(\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}\) son constantes.
La ecuación\(\theta\) de Lagrange es
\[I_{1}^{\prime} \ddot{\theta}=I_{1}^{\prime} \dot{\phi}^{2} \sin \theta \cos \theta-I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}) \dot{\phi} \sin \theta+M g \ell \sin \theta\]
Por constante\(\theta\),\(\ddot{\theta}=0\), entonces, con\(\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}\), y\(\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}\).
\[I_{1}^{\prime} \Omega_{p r}^{2} \cos \theta-I_{3} \Omega_{3} \Omega_{p r}+M g \ell=0 \label{eq3}\]
Dado que la ecuación\ ref {eq3} es una ecuación cuadrática para la tasa de precesión, hay dos soluciones en general: al observar una parte superior de precesión, ¡esto es un poco sorprendente! Sabemos que para la cima, cuando está precediendo muy bien, la tasa de giro supera con\(\Omega_{3}\) creces la tasa de precesión\(\Omega_{p r}\). Suponiendo\(I_{1}^{\prime}, I_{3}\) que es de tamaño similar, esto significa que el primer término en la cuadrática es mucho menor que el segundo. Si solo bajamos el primer término, obtenemos la tasa de precesión
\[\Omega_{\text {precess }(\mathrm{slow})}=\frac{M g \ell}{I_{3} \Omega_{3}}, \quad\left(\Omega_{3} \gg \Omega_{\text {precess }}\right)\]
Tenga en cuenta que esto es independiente del ángulo: el par varía como\(\sin \theta\), pero también lo hace la componente horizontal del momento angular, que es lo que está cambiando.
Esta es la solución familiar para que la peonza rápida de un niño se preceda lentamente. Pero esta es una ecuación cuadrática, hay otra posibilidad: en este gran\(\Omega_{3}\) límite, esta otra posibilidad es que\(\Omega_{p r} \text { is itself of order } \Omega_{3}\), entonces ahora en la ecuación el último término, el gravitacional, es insignificante, y
\[\Omega_{\text {precess }(\text { fast })} \cong I_{3} \Omega_{3} / I_{1}^{\prime} \cos \theta\]
¡Esto es solo la nutación de un top gratis! De hecho, por supuesto, ambas son soluciones aproximadas, solo exactas en el límite del giro infinito (donde uno va a cero, el otro al infinito), y un tratamiento más preciso dará correcciones a cada una surgida del otro. Landau indica el orden principal de corrección gravitacional al modo de nutación de cuerpo libre.