27.6: Estabilidad de la Hilatura Superior sobre el Eje Vertical
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(de Landau) Para\(\theta=\dot{\theta}=0, \quad L_{3}=L_{Z}, E^{\prime}=0 . \text { Near } \theta=0\),
\ begin {ecuación}
\ begin {alineado}
V_ {\ text {efectivo}} (\ theta) &=\ frac {\ left (L_ {Z} -L_ {3}\ cos\ theta\ derecha) ^ {2}} {2 I_ {1} ^ {\ prime}\ sin ^ {2}\ theta} -M g\ ell (1-\ cos\ theta)\
&\ cong\ frac {L_ {3} ^ {2}\ izquierda (\ frac {1} {2}\ theta^ {2}\ derecha) ^ {2}} {2 I_ {1} ^ {\ prime}\ theta^ {2}} -\ frac {1} {2} M g\ ell\ theta^ {2}\\
&=\ left (L_ {3} ^ {2}/8 I_ {1} ^ {\ prime} -\ frac {1} {2} M g\ ell\ derecha)\ theta^ {2}
\ end {alineado}
\ end {ecuación}
La posición vertical es estable frente a pequeñas oscilaciones proporcionadas\(L_{3}^{2}>4 I_{1}^{\prime} M g \ell, \text { or }\), o\(\Omega_{3}^{2}>4 I_{1}^{\prime} M g \ell / I_{3}^{2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Supongamos que establece la vertical superior, pero girando a menos de\(\Omega_{3 \text { crit }}\), el valor en el que es simplemente estable. Se caerá, pero se recuperará, y así sucesivamente. Mostrar el ángulo máximo que alcanza viene dado por\(\cos (\theta / 2)=\Omega_{3} / \Omega_{3 \mathrm{crit}}\).