2.2: Las leyes del movimiento de Newton

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Newton definió una cantidad vectorial llamada impulso lineal\(\mathbf{p}\) que es el producto de la masa y la velocidad.

\[\label{eq:2.1} \mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}}\]

Dado que la masa\(m\) es una cantidad escalar, entonces el vector de velocidad\(\dot{r}\) y el vector de impulso lineal\(\mathbf{p}\) son colineales.

Las leyes de Newton, expresadas en términos de impulso lineal, son:

Ley de inercia: Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme a menos que sea actuado por una fuerza.
Ecuación de movimiento: Un cuerpo sobre el que actúa una fuerza se mueve de tal manera que la tasa de tiempo de cambio de impulso es igual a la fuerza. \[\label{eq:2.2}\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}\]
Acción y reacción: Si dos cuerpos ejercen fuerzas el uno sobre el otro, estas fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

La segunda ley de Newton contiene la física esencial que relaciona la fuerza\(\mathbf{F}\) y la velocidad de cambio del impulso lineal \(\mathbf{p}\).

La primera ley de Newton, la ley de la inercia, es un caso especial de la segunda ley de Newton en que si

\[\label{eq:2.3}\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0\]

entonces\(\mathbf{p}\) es una constante de movimiento.

La tercera ley de Newton también puede interpretarse como una declaración de la conservación del impulso, es decir, para un sistema de dos partículas sin fuerzas externas que actúen,

\[\label{eq:2.4} \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\]

Si las fuerzas que actúan sobre dos cuerpos son su acción y reacción mutuas, entonces la Ecuación\ ref {eq:2.4} simplifica a

\[\label{eq:2.5} \mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21}= \frac{d\mathbf{p_1}}{dt}+ \frac{d\mathbf{p_2}}{dt} = \frac{d}{dt}(\mathbf{p_1+p_2}) = 0\]

Esto implica que el impulso lineal total\(\mathbf{P = p_1 + p_2}\) es una constante de movimiento. Combinando Ecuaciones\ ref {eq:2.1} y\ ref {eq:2.2} conduce a una ecuación diferencial de segundo orden

\[\label{2.6} \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=m\mathbf{\ddot{r}}\]

Tenga en cuenta que la fuerza sobre un cuerpo\(\mathbf{F}\), y la aceleración resultante\({\bf a = \ddot{r}}\) son colineales. Apéndice\(19.3.2\) da expresiones explícitas para la aceleración\({\bf a}\) en sistemas de coordenadas cartesianas y curvilíneas. La definición de fuerza depende de la definición de la masa\(m\). Las leyes del movimiento de Newton son obedecidas a una alta precisión para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz. Por ejemplo, experimentos recientes han demostrado que son obedecidos con un error en la aceleración de\(\Delta a \leq 5 \times 10^{-14}\mathit{m/s^2}\).