2.4: Integrales de primer orden en mecánica newtoniana

Un objetivo fundamental de la mecánica es determinar las ecuaciones de movimiento para un sistema\(n\) −body, donde la fuerza\({\bf F}_i\) actúa sobre la masa individual\(m_i\) donde\(1 \leq i \leq n\). La ecuación de movimiento de segundo orden de Newton\((2.2.6)\) debe resolverse para calcular las ubicaciones espaciales instantáneas, velocidades y aceleraciones para cada masa\(m_i\) de un sistema\(n\) de cuerpo. Ambos\({\bf F}_i\) y\( {\bf \ddot{r}}_i\) son vectores que tienen cada uno tres componentes ortogonales. La solución de la ecuación\((2.2.6)\) implica integrar ecuaciones de movimiento de segundo orden sujetas a un conjunto de condiciones iniciales. Aunque esta tarea parece simple en principio, puede ser extremadamente complicada para sistemas de muchos cuerpos. Afortunadamente, la solución del movimiento a menudo se puede simplificar explotando tres integrales de primer orden de las ecuaciones de movimiento de Newton, que se relacionan directamente con la conservación del momento lineal, momento angular o energía del sistema. Además, para el caso especial de estas tres integrales de primer orden, el movimiento interno de cualquier sistema de muchos cuerpos puede ser factorizado por una simple transformación en el centro de masa del sistema. Como consecuencia, las siguientes tres integrales de primer orden son explotadas extensamente en la mecánica clásica.

Momentum lineal

Las leyes de Newton se pueden escribir como las formas diferenciales e integrales de la integral de tiempo de primer orden que equivale al cambio en el impulso lineal.

\[\label{eq:2.10}\mathbf{F}_i =\frac{d\mathbf{p}_i}{dt} \hspace{5cm} \int_1^2\mathbf{F}_idt = \int_1^2\frac{d\mathbf{p}_i}{dt}dt = ( \mathbf{p}_2 -\mathbf{p}_1)_i\]

Esto permite que la ley del movimiento de Newton se exprese directamente en términos del impulso lineal\(\mathbf{p}_i = m_i\mathbf{\dot{r}}_i \) de cada uno de los\(1 < i < n\) cuerpos en el sistema. Esta integral de tiempo de primer orden ocupa un lugar destacado en la mecánica clásica ya que se conecta con el importante concepto de impulso lineal\({\bf p}\). Esta integral de tiempo de primer orden da que el impulso lineal total es una constante de movimiento cuando la suma de las fuerzas externas es cero.

Momentum Angular

El momento angular\({\bf L}_i\) de una partícula\(i\) con momento lineal\({\bf p}_i\) con respecto a un origen a partir del cual\({\bf r}_i\) se mide el vector de posición, se define por

\ begin {ecuación}\ label {eq:2.11}\ mathbf {L} _i\ equiv\ mathbf {r} _i\ veces\ mathbf {p} _i\ end {ecuación}

El par, o momento de la fuerza\(\mathbf{N}_i\) con respecto al mismo origen se define como

\ begin {ecuación}\ label {eq:2.12}\ mathbf {N} _i\ equiv\ mathbf {r} _i\ veces\ mathbf {F} _i\ end {ecuación}

donde\(\mathbf{r}_i\) es el vector de posición desde el origen hasta el punto donde\({\bf F}_i\) se aplica la fuerza. Tenga en cuenta que el par\({\bf N}_i\) puede escribirse como

\ begin {ecuación}\ label {eq:2.13}\ mathbf {N} _i\ equiv\ mathbf {r} _i\ veces\ frac {d\ mathbf {p} _i} {dt}\ end {ecuación}

Considere el diferencial de tiempo del momento angular,\(\frac{d\mathbf{L}_i}{dt}\)

\ begin {ecuación}\ label {eq:2.14}\ frac {d\ mathbf {L} _i} {dt} =\ frac {d} {dt} (\ mathbf {r} _i\ veces\ mathbf {p} _i) =\ frac {d\ mathbf {r} _i} {dt}\ veces\ mathbf {p} _i+\ mathbf {r} _i\ veces\ frac {d\ mathbf {p} _i} {dt}\ final {ecuación}

Sin embargo,

\ begin {ecuación}\ label {eq:2.15}\ frac {d\ mathbf {r} _i} {dt}\ veces\ mathbf {p} _i=m\ frac {d\ mathbf {r} _i} {dt}\ veces\ frac {d\ mathbf {r} _i} {dt} = 0\ end {ecuación}

Ecuaciones\ ref {eq:2.13} −\ ref {eq:2.15} se pueden usar para escribir la integral de tiempo de primer orden para el momento angular en forma diferencial o integral como

\ [\ label {eq:2.16}
\ frac {d\ mathbf {L} _i} {dt} =\ mathbf {r} _i\ veces\ frac {d\ mathbf {p} _i} {dt} =\ mathbf {N} _i\ hspace {3cm}\ int_1^2\ mathbf {N} _idt =\ int_1^2\ frac {d\ mathbf {L} _i} {dt} dt = (\ mathbf {L} _2 -\ mathbf {L} _1) _i
\]

La Ley de Newton relaciona el par y el momento angular alrededor del mismo eje. Cuando el par alrededor de cualquier eje es cero, entonces el momento angular alrededor de ese eje es una constante de movimiento. Si el par total es cero entonces el momento angular total, así como los componentes alrededor de tres ejes ortogonales, todos son constantes.

Energía cinética

La tercera integral de primer orden, que puede ser utilizada para resolver las ecuaciones de movimiento, es la integral espacial de primer orden\(\int_1^2\mathbf{F}_i \cdot d\mathbf{r}_i\). Tenga en cuenta que esta integral espacial es un escalar en contraste con las integrales de tiempo de primer orden para momentos lineales y angulares que son vectores. El trabajo realizado sobre una masa\(m_i\) por una fuerza\(\mathbf{F}_i \) en la transformación de la condición 1 a 2 se define como

\[ \label{eq:2.17}[W_{12} ] _i \equiv\int_1^2\mathbf{F}_i \cdot d\mathbf{r}_i \]

Si\({\bf F}_i\) la fuerza resultante neta actúa sobre una partícula\(i\), entonces el integrando puede escribirse como

\[\label{eq:2.18}F_i\cdot d\mathbf{r}_i = \frac{d\mathbf{p}_i}{dt}\cdot d\mathbf{r}_i = m_i\frac{d\mathbf{v}_i}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}dt=m_i\frac{d\mathbf{v}_i}{dt}\cdot\mathbf{v}_idt=\frac{m_i}{2}\frac{d}{dt}(\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{v}_i ) dt = d\bigg(\frac{1}{2}m_iv_i^2\bigg) = d [ T ] _i \]

donde la energía cinética de una partícula\(i\) se define como

\[\label{eq:2.19} [ T] _i \equiv \frac{1}{2}m_iv_i^2 \]

Así, el trabajo realizado sobre la partícula\(i\), es decir,\( [W_{12}]_{i} \) equivale al cambio en la energía cinética de la partícula si no hay cambio en otras contribuciones a la energía total como energía potencial, disipación de calor, etc.

\[ \label{eq:2.20}[W_{12}]_{i}= \bigg[ \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2 \bigg]_i = [T_2 - T_1 ]_i \]

Así, las formas diferenciales, y la primera integral correspondiente, de la energía cinética pueden escribirse como

\ [\ label {eq:2.21}
\ mathbf {F} _i =\ frac {d\ mathbf {T} _i} {dt}\ hspace {5cm}\ int_1^2\ mathbf {F} _i\ cdot d\ mathbf {r} _i = (\ mathbf {T} _2 -\ mathbf {T} _1) _i
\]

Si el trabajo realizado sobre la partícula es positivo, entonces la energía cinética final\(T_2 > T_1\) Especialmente notable es que la energía cinética\([T]_i\) es una cantidad escalar lo que la hace sencilla de usar. Esta integral espacial de primer orden es la base de la formulación analítica de la mecánica que subyace a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana.