2.11: Teorema del Virial

El teorema virial es un teorema importante para un sistema de partículas móviles tanto en la física clásica como en la física cuántica. El Teorema Virial es útil cuando se considera una colección de muchas partículas y tiene una especial importancia para el movimiento de la fuerza central. Para un sistema general de puntos de masa con vectores de posición\( \mathbf{r}_i \) y fuerzas aplicadas\( \mathbf{F}_i \), considere el producto escalar\( G \)

\[ \label{eq:2.80} G \equiv \sum_i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i \]

donde\(i\) suma sobre todas las partículas. La derivada del tiempo de\(G\) es

\[ \label{eq:2.81} \frac{dG}{dt} = \sum_i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{ \dot{r}}_i + \sum_i \mathbf{\dot{p}}_i \cdot \mathbf{r}_i \]

Sin embargo,

\[ \label{eq:2.82} \sum_i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{ \dot{r}}_i = \sum_i m \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \mathbf{ \dot{r}}_i = \sum_i mv^2 = 2T \]

También, desde\( \mathbf{\dot{p}}_i = \mathbf{F}_i \)

\[ \label{eq:2.83} \sum_i \mathbf{\dot{p}}_i \cdot \mathbf{r}_i = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \]

Por lo tanto

\[ \label{eq:2.84} \frac{dG}{dt} = 2T + \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \]

El promedio de tiempo a lo largo de un periodo\( \tau \) es

\[ \label{eq:2.85} \frac{1}{T} \int_0^\tau \frac{dG}{dt} dt = \frac{G ( \tau ) - G ( 0 ) }{ \tau } = \langle 2T \rangle + \Bigg \langle \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \Bigg \rangle \]

donde los\( \langle \rangle \) paréntesis se refieren al promedio de tiempo. Tenga en cuenta que si el movimiento es periódico y el tiempo elegido\( \tau \) es igual a un múltiplo del periodo, entonces\( \frac{G ( \tau ) - G ( 0 ) }{ \tau } = 0 \). Incluso si el movimiento no es periódico, si las restricciones y velocidades de todas las partículas permanecen finitas, entonces hay un límite superior a\( G \) .Esto implica que elegir\( \tau \rightarrow \infty \) significa eso\( \frac{G ( \tau ) - G ( 0 ) }{ \tau } \rightarrow 0 \). En ambos casos el lado izquierdo de la ecuación tiende a cero dando el teorema virial

\[\label{2.86} \langle T \rangle = - \frac{1}{2} \Bigg \langle \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \Bigg \rangle \]

El lado derecho de esta ecuación se llama el virio del sistema. Para una sola partícula sujeta a una fuerza central conservadora,\( \mathbf{F} = - \nabla U \) el teorema del Virial es igual

\[ \label{2.87} \langle T \rangle = \frac{1}{2} \langle \nabla U \cdot \mathbf{r} \rangle = \frac{1}{2} \bigg \langle r \frac{\partial U}{\partial r} \bigg \rangle \]

Si el potencial es de la forma\( U = kr^{n+1} \) que es\( F = -k(n+1)r^{n} \), entonces\( r\frac{\partial U}{\partial r} = (n+1) U \). Así, para una sola partícula en un potencial central\( U = kr^{n+1} \) el teorema del Virial se reduce a

\[\label{eq:2.88} \langle T \rangle = \frac{n+1}{2} \langle U \rangle \]

Los siguientes dos casos especiales son de considerable importancia en la física.

Ley de Hooke: Tenga en cuenta que para una fuerza restauradora lineal\(n = 1\) entonces

\[ \label{eq:HookeLaw}\nonumber \tag{n=1} \langle T \rangle = + \langle U \rangle \]

Puede estar familiarizado con este hecho para el movimiento armónico simple donde las energías cinéticas y potenciales promedio son las mismas y ambas iguales a la mitad de la energía total.

Ley de cuadrados inversos: El otro caso interesante es para la ley cuadrada inversa\(n = −2\) donde

\[ \label{eq:InverseSquareLaw}\nonumber \tag{n = -2} \langle T \rangle = - \frac{1}{2} \langle U \rangle\]

El teorema del Virial es útil para resolver problemas en que conocer al exponente\(n\) del campo permite anotar directamente la energía total promedio en el campo. Por ejemplo, para

\[ \begin{align} \langle E \rangle &= \langle T \rangle + \langle U \rangle \\[4pt] &= -\frac{1}{2} \langle U \rangle + \langle U \rangle = \frac{1}{2} \langle U \rangle \label{eq:2.89} \end{align} \]

Esto ocurre para el modelo Bohr del átomo de hidrógeno donde la energía cinética del electrón unido es la mitad de la energía potencial. El mismo resultado ocurre para el movimiento planetario en el sistema solar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The ideal gas law

El teorema del Virial se ocupa de las propiedades promedio y tiene aplicaciones a la mecánica estadística. Considera un gas ideal. Según el teorema de equipartición la energía cinética promedio por átomo en un gas ideal es\( \frac{3}{2} k T \) donde\(T\) está la temperatura absoluta y\(k\) es la constante de Boltzmann. Así la energía cinética total promedio para los\(N\) átomos es\( \langle KE \rangle = \frac{3}{2}NkT \). El lado derecho del teorema del Virial contiene la fuerza\( \mathbf{F}_i \). Para un gas ideal se supone que no hay fuerzas de interacción entre los átomos, esa es la única fuerza es la fuerza de restricción de las paredes del recipiente a presión. La presión\(P\) es fuerza por unidad de área y así la fuerza instantánea en un área de pared\(dA\) es\( d\mathbf{F}_i = - \mathbf{\hat{n}}PdA \) donde\( \hat{n} \) designa el vector unitario normal a la superficie. Así, el lado derecho del teorema del Virial es

\[ \nonumber -\frac{1}{2} \Bigg \langle \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \Bigg \rangle = \frac{P}{2} \int \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{r}_i dA \]

El uso del teorema de la divergencia así lo da\(\int \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{r}_i dA = \int \nabla \cdot \mathbf{r} dV = 3 \int dV =3V \). Así el teorema del Virial conduce a la ley ideal del gas, es decir

\[\nonumber NkT = PV \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): The mass of galaxies

El teorema del Virial puede ser utilizado para hacer una estimación bruta de la masa de un cúmulo de galaxias. Asumiendo un cúmulo de\(N\) galaxias esféricamente simétrico, cada una de las masas\(m\) entonces la masa total del cúmulo es\( M = Nm \). Una estimación bruta de la energía potencial del clúster es

\[ \nonumber \tag{\( \alpha \)} \langle U \rangle \approx \frac{GM^2}{R} \]

donde\(R\) es el radio de un racimo. La energía cinética promedio por galaxia es\( \frac{1}{2} m \langle v \rangle ^2 \) donde\( \langle v \rangle ^2 \) está el cuadrado promedio de las velocidades de la galaxia con respecto al centro de masa del cúmulo. Así, la energía cinética total del cúmulo es

\[ \nonumber \tag{ \( \beta \)} \langle KE \rangle \approx \frac{N m \langle v \rangle ^2 }{2} = \frac{M \langle v \rangle ^2 }{2} \]

El teorema del Virial nos dice que\( F \propto r^n \) da una fuerza central que tiene una dependencia radial de la forma\( \langle KE \rangle = \frac{n+1}{2} \langle U \rangle \). Para la fuerza gravitacional del cuadrado inverso entonces

\[ \nonumber \tag{\( \gamma \)} \langle KE \rangle = - \frac{1}{2} \langle U \rangle. \]

Así\(\alpha, \ \beta \), las ecuaciones, y\( \gamma \) dan una estimación de la masa total del cúmulo a ser

\[ \nonumber M \approx \frac{R \langle v \rangle ^2}{G} \]

Esta estimación es mayor que el valor estimado a partir de la luminosidad del cúmulo, lo que implica que debe existir una gran cantidad de “materia oscura” en las galaxias, lo que sigue siendo una cuestión abierta en la física.