2.10: Trabajo y energía cinética para un sistema de muchos cuerpos

Energía cinética del centro de masa

Para un sistema de muchos cuerpos, el vector de posición\( \mathbf{r}^\prime_i \) con respecto al centro de masa viene dado por.

\[ \label{eq:2.51} \mathbf{r}_i = \mathbf{R} + \mathbf{r}^\prime_i \]

La ubicación del centro de masa se define de manera única como estar en la ubicación donde\( \int \rho \mathbf{r}^\prime_i dV = 0 \). La velocidad de la\( i^{th} \) partícula se puede expresar en términos de la velocidad del centro de masa\( \mathbf{\dot R} \) más la velocidad de la partícula con respecto al centro de masa\( \mathbf{\dot r}^\prime_i \). Es decir,

\[ \label{eq:2.52} \mathbf{\dot{r}}_i = \mathbf{\dot{R}} + \mathbf{\dot{r}}^\prime_i \]

La energía cinética total\( T \) es

\[\label{eq:2.53} T = \sum_i^n \frac{1}{2}m_iv_i^2 = \sum_i^n\frac{1}{2}m_i\mathbf{\dot{r}}_i\cdot \mathbf{\dot{r}}_i = \sum_i^n\frac{1}{2}m_i\mathbf{\dot{r}}^\prime_i\cdot \mathbf{\dot{r}}^\prime_i + \bigg ( \frac{d}{dt} \sum_i m_I \mathbf{\dot{r}}^\prime_i \bigg ) \cdot \mathbf{\dot{R}} + \sum_i \frac{1}{2} m_i \mathbf{\dot{R}} \cdot \mathbf{\dot{R}} \]

Para el caso especial del centro de masa, el término medio es cero ya que, por definición del centro de masa,\( \sum_i m_i \mathbf{\dot{r}}^\prime_i \) .Por lo tanto

\[\label{eq:2.54} T = \sum_i^n \frac{1}{2} m_i {v^\prime_i}^2 + \frac{1}{2}MV^2 \]

Así, la energía cinética total del sistema es igual a la suma de la energía cinética de una masa que\( M \) se mueve con el centro de la velocidad másica más la energía cinética de movimiento de las partículas individuales en relación con el centro de masa. Esto se llama segundo teorema de Samuel König.

Tenga en cuenta que para una energía fija de centro de masa, la energía cinética total\( T \) tiene un valor mínimo de\( \sum_i^n \frac{1}{2} m_i {v^\prime_i}^2 \) cuando la velocidad del centro de masa\( V \) = 0. Para una energía de excitación interna dada, la energía mínima requerida para acelerar los cuerpos colisionantes ocurre cuando los cuerpos colisionantes tienen momentos lineales idénticos, pero opuestos. Es decir, cuando la velocidad del centro de masa\(V \) = 0.

Fuerzas conservadoras y energía potencial

En general, la línea integral de un campo de fuerza\( \mathbf{F} \), es decir,\( \int_1^2 \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) depende tanto del camino como del tiempo. Sin embargo, existe una importante clase de fuerzas, llamadas fuerzas conservadoras, por la que se obedecen los dos hechos siguientes.

1. Independencia del tiempo: La fuerza depende únicamente de la posición de la partícula\( \mathbf{r} \), es decir, no depende de la velocidad ni del tiempo.
2. Independencia del camino: Para cualquiera de los dos puntos 1 y 2, el trabajo realizado por\( \mathbf{F} \) es independiente del camino tomado entre 1 y 2.

Si las fuerzas son independientes del camino, entonces es posible definir un campo escalar, llamado energía potencial y denotado por\( U( \mathbf{r} ) \) eso es solo una función de posición. La independencia de ruta se puede expresar señalando que la integral alrededor de un bucle cerrado es cero. Eso es

\[ \label{eq:2.55} \oint \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = 0 \]

La aplicación del teorema de Stokes para una fuerza independiente de ruta conduce a la declaración alternativa de que el curl es cero.

Ver apéndice\(19.7.3C\).

\[\label{eq:2.56} \nabla \times \mathbf{ F} = 0 \]

Tenga en cuenta que el producto vectorial de dos operadores del\( \nabla \) que actúan sobre un campo escalar U es igual

\[ \label{eq:2.57} \nabla \times \nabla U = 0 \]

Por lo tanto, es posible expresar un campo de fuerza independiente de ruta como el gradiente de un campo escalar\(U\), es decir

\[ \label{eq:2.58} \mathbf{F} = - \nabla U \]

Luego la integral espacial

\[ \label{eq:2.59} \int_1^2 \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = - \int_1^2 ( \nabla U) \cdot d \mathbf{r} = U_1 - U_2 \]

Así, para una fuerza independiente del camino, el trabajo realizado sobre la partícula viene dado por el cambio en la energía potencial si no hay cambio en la energía cinética. Por ejemplo, si un objeto se levanta contra el campo gravitacional, entonces se trabaja en la partícula y la energía potencial final\( U_2 \) excede la energía potencial inicial,\( U_1\).

Energía Mecánica Total

La energía mecánica total\( E \) de una partícula se define como la suma de las energías cinética y potencial.

\[\label{eq: 2.60} E = T + U \]

Tenga en cuenta que la energía potencial se define solo dentro de una constante aditiva ya que la fuerza\( \mathbf{F} = - \nabla U \) depende solo de la diferencia en la energía potencial. De igual manera, la energía cinética no es absoluta ya que cualquier marco inercial de referencia puede ser utilizado para describir el movimiento y la velocidad de una partícula depende de las velocidades relativas de los marcos inerciales. Por lo tanto, la energía mecánica total no\( E =T + U \) es absoluta.

Si una sola partícula está sujeta a varias fuerzas independientes del camino, como la gravedad, las fuerzas de restauración lineales, etc., entonces se\( U_i \) puede atribuir una energía potencial a cada una de las\( m \) fuerzas donde para cada fuerza\( \mathbf{F}_i = - \nabla U_i \). En contraste con las fuerzas, que se suman vectorialmente, estas energías potenciales escalares son aditivas,\( U = \sum_i^m U_i \). Así, la energía mecánica total para las energías\( m \) potenciales es igual a

\[ \label{eq:2.61} E = T + U ( \mathbf{r} ) = T + \sum_i^m U_i ( \mathbf{r} )\]

La derivada de tiempo de la energía mecánica total\( E =T + U \) es igual

\[ \label{eq:2.62} \frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt} + \frac{dU}{dt} \]

La ecuación (2.4.9) dio eso\( dT = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \). Así, el primer término en la Ecuación\ ref {eq:2.62} es igual

\[ \label{eq:2.63} \frac{dT}{dt} = \mathbf{F} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]

La energía potencial puede ser una función tanto de la posición como del tiempo. Por lo tanto, la diferencia de tiempo en la energía potencial debido al cambio tanto en el tiempo como en la posición se da como

\[ \label{eq:2.64} \frac{dU}{dt} = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \frac{d x_i}{ dt} + \frac{\partial U}{\partial t} = ( \nabla U ) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} \]

La derivada temporal de la energía mecánica total se da usando las Ecuaciones\ ref {eq:2.63} y\ ref {eq:2.64} en la Ecuación\ ref {eq:2.62}

\[ \label{eq:2.65} \frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt} + \frac{dU}{dt} = \mathbf{F} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} + ( \nabla U ) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} = [\mathbf{F} + ( \nabla U ) ] \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} \]

Tenga en cuenta que si el campo es independiente de la ruta, es\( \nabla \times \mathbf{F} = 0 \) decir, la fuerza y el potencial están relacionados por

\[ \label{eq:2.66} \mathbf{F} = - \nabla U \]

Por lo tanto, para las fuerzas independientes de trayectoria, el primer término en la derivada temporal de la energía total en la Ecuación\ ref {eq:2.65} es cero. Es decir,

\[ \label{eq:2.67} \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t}\]

Además, cuando la energía potencial no\( U \) es una función explícita del tiempo, entonces\( \frac{\partial U}{\partial t} = 0 \) y así se conserva la energía total. Es decir, para la combinación de (a) independencia de trayectoria más (b) independencia de tiempo, entonces se conserva la energía total de un campo conservador.

Obsérvese que hay casos en los que el concepto de potencial sigue siendo útil incluso cuando es dependiente del tiempo. Es decir, si se aplica la independencia del camino, es decir,\( \mathbf{F} = - \nabla U \) en cualquier instante. Por ejemplo, un problema de campo de Coulomb donde las cargas cambian lentamente debido a fugas, etc., o durante una colisión periférica entre dos cuerpos cargados como núcleos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Central force

Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una trayectoria dada por\( x =x_o \cos \omega_1 t \ and \ y_0 \sin \omega_2 t \).

a) Encontrar los componentes x e y de la fuerza y determinar la condición para la cual la fuerza es una fuerza central.

Diferenciar con respecto al tiempo da

\[\begin{align*} \dot{x} = - x_0 \omega_1 \sin ( \omega _1 t ) & & \ddot{x} = - x_0 \omega_1 ^2\cos ( \omega _1 t ) \\ \dot{y} = - y_0 \omega_1 \cos ( \omega _2 t ) & & \ddot{y} = - y_0 \omega_2 ^2\sin ( \omega _1 t ) \end{align*}\]

La segunda ley de Newton da

\[ \nonumber \mathbf{F} = m ( \ddot{x} \hat{i} + \ddot{y} \hat{j} ) = - m \Big [ x_0 \omega_1 ^2 \cos ( \omega _1 t ) \hat{i} + y_0 \omega_2 ^2 \sin ( \omega _1 t ) \hat{j} \Big ] = - m \Big [ \omega_1 ^2 x \hat{i} + \omega_2 ^2 y \hat{j} \Big ] \]

Tenga en cuenta que si\( \omega_1 = \omega_2 = \omega \) entonces

\[\nonumber \mathbf{F} = -m \omega^2 [ x \hat{i} + y \hat{j} ] = - m\omega^2 \mathbf{r}\]

Es decir, es una fuerza central si\( \omega_1 = \omega_2 = \omega \).

b) Encontrar la energía potencial en función de x e y.

Desde

\[\nonumber \mathbf{F} = - \nabla U = - \bigg [ \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j} \bigg ] \]

entonces

\[\nonumber U = \frac{1}{2} m ( \omega_1^2 x^2 + \omega _2 ^2 y^2 ) \]

asumiendo que\( U = 0 \) en el origen.

c) Determinar la energía cinética de la partícula y mostrar que está conservada.

La energía total

\[ \nonumber E = T + U = \frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}_2 ) + \frac{1}{2} m ( \omega_1^2 x^2 + \omega_2^2 y^2 ) = \frac{1}{2} m (x_0^2 \omega_1 ^2 + y_0^2 \omega_2 ^2 ) \]

ya que\( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \). Así, la energía total\(E\) es una constante y se conserva.

Energía mecánica total para sistemas conservadores

La ecuación (2.4.11) mostró que, utilizando la segunda ley de Newton\( \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \), la integral espacial de primer orden da que el trabajo realizado\( W_{12} \) está relacionado con el cambio en la energía cinética. Es decir,

\[ \label{eq:2.68} W_{12} \equiv \int_1^2 \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2}v_1^2 = T_2 - T_1 \]

El trabajo realizado\( W_{12} \) también puede ser evaluado en términos de las fuerzas conocidas\( \mathbf{F}_i \) en la integral espacial. Considerar que la fuerza resultante que actúa sobre la\(n\) partícula\(i\) en este sistema de partículas se puede separar en una fuerza externa\( \mathbf{F}_i^{Ext} \) más fuerzas internas entre las\(n\) partículas del sistema

\[\label{eq:2.69} \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_i^E + \sum_{\substack{j \\ i \neq j}}^n \mathbf{f}_{ij} \]

El origen de la fuerza externa es desde el exterior del sistema mientras que la fuerza interna se debe a la interacción con las otras\(n − 1\) partículas en el sistema. La Ley de Newton nos dice que

\[ \label{eq:2.70} \mathbf{\dot{p}}_i = \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_i^E + \sum_{\substack{j \\ i \neq j}}^n \mathbf{f}_{ij} \]

El trabajo realizado en el sistema por una fuerza que se mueve de la configuración\(1 \rightarrow 2 \) viene dado por

\[ \label{eq:2.71} W_{1 \rightarrow 2} = \sum_i^n \int_1^2 \mathbf{F}_i^E \cdot d \mathbf{r}_i + \sum_i^n\sum_{\substack{ j \\ i \neq j}}^n \int_1^2 \mathbf{f}_{ij} \cdot d \mathbf{r}_i \]

Desde\( \mathbf{f}_{ij} = - \mathbf{f}_{ji} \) entonces

\[ \label{eq:2.72} W_{1 \rightarrow 2} = \sum_i^n \int_1^2 \mathbf{F}_i^E \cdot d \mathbf{r}_i + \sum_i^n\sum_{\substack{ j \\ i < j}}^n \int_1^2 \mathbf{f}_{ij} \cdot ( d \mathbf{r}_i - d\mathbf{r}_j ) \]

¿Dónde\( d \mathbf{r}_i - d\mathbf{r}_j = d\mathbf{r}_{ij} \) está el vector de\(j\) a\(i\).

Supongamos que tanto las fuerzas externas como las internas son conservadoras, y así pueden derivarse de potenciales independientes del tiempo, es decir

\[\label{eq:2.73} \mathbf{F}_i^E = - \nabla _i U_i^{Ext} \]

\[\label{eq:2.74} \mathbf{f}_{ij} = - \nabla_i U_{ij}^{Int} \]

Entonces

\[\begin{align} W_{1 \rightarrow 2} = - \sum_i^n \int_1^2 - \nabla _i U_i^{Ext} \cdot d \mathbf{r}_i + \sum_i^n\sum_{\substack{ j \\ i < j}}^n \int_1^2 - \nabla_i U_{ij}^{Int} \cdot d \mathbf{r}_i \nonumber\\ = \sum_i^n U_i^{Ext} (1) - \sum_i^n U_i ^{Ext} (2) + \sum_i^n U_i ^{Int} (1) - \sum_i^n U_i ^{Int} (2) \nonumber\\ = U^{Ext} (1) - U^{Ext} (2) + U^{Int} ( 1 ) - U^{Int} (2) \label{eq:2.75} \end{align}\]

Definir la energía potencial externa total,

\[ \label{eq:2.76} U^{Ext} = \sum_i^n U_i^{Ext} \]

y la energía interna total

\[ \label{eq:2.77} U^{Int} = \sum_i^n U_i ^{Int} \]

Equiparar las dos ecuaciones equivalentes para\( W_{1\rightarrow 2} \), es decir, Ecuaciones\ ref {eq:2.68} y\ ref {eq:2.75} da que

\[ \label{eq:2.78} W_{1\rightarrow 2} = T_2 - T_1 = U^{Ext} (1) - U^{Ext} (2) + U^{Int} ( 1 ) - U^{Int} ( 2 ) \]

Reagrupar estos términos en la ecuación\ ref {eq:2.78} da

\[ \nonumber T_1 + U^{Ext} (1) + U^{Int}(1) = T_2 + U^{Ext} (2) + U^{Int} (2) \]

Esto demuestra que, para las fuerzas conservadoras, la energía total se conserva y viene dada por

\[ \label{eq:2.79} E = T + U^{Ext} + U^{Int} \]

Las tres integrales de primer orden para el momento lineal, el momento angular y la energía proporcionan enfoques poderosos para resolver el movimiento de los sistemas newtonianos debido a la aplicabilidad de las leyes de conservación para el momento lineal y angular correspondiente, además de la conservación de energía para las fuerzas conservadoras. Además, el importante concepto de movimiento del centro de masa se separa naturalmente para estas tres integrales de primer orden. Aunque estas leyes de conservación se derivaron asumiendo las Leyes de movimiento de Newton, estas leyes de conservación son más generalmente aplicables, y estas leyes de conservación superan el rango de validez de las Leyes del movimiento de Newton. Por ejemplo, en 1930 Pauli y Fermi postularon la existencia del neutrino para dar cuenta de la no conservación de la energía y el impulso en\( \beta \) -decaimiento porque no deseaban renunciar a los conceptos de conservación de energía y impulso. El neutrino se detectó por primera vez en 1956 confirmando la exactitud de esta hipótesis.