2.13: Solución de ecuaciones de movimiento de muchos cuerpos

Los siguientes son métodos generales utilizados para resolver las ecuaciones de movimiento de muchos cuerpos de Newton para problemas prácticos.

Solución analítica

En problemas prácticos se tiene que resolver un conjunto de ecuaciones de movimiento ya que las fuerzas dependen de la ubicación de cada cuerpo involucrado. Por ejemplo, se puede tratar con un conjunto de osciladores acoplados tales como los muchos componentes que comprenden el sistema de suspensión de un automóvil. A menudo, las ecuaciones acopladas de movimiento comprenden un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden.

El primer enfoque para resolver dicho sistema es probar una solución analítica que comprenda una solución general de la ecuación no homogénea más una solución particular de la ecuación no homogénea. Otro enfoque es emplear la integración numérica usando una computadora.

Aproximación sucesiva

Cuando el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas de movimiento es demasiado complicado de resolver analíticamente se puede utilizar el método de aproximación sucesiva. Las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones integrales. Entonces se inicia con algunas condiciones iniciales para hacer una estimación de primer orden de las funciones. Las funciones determinadas por esta estimación de primer orden se utilizan entonces en una segunda iteración y esto se repite hasta que la solución converge.

Un ejemplo de este enfoque es al hacer cálculos de Hartree-Foch de las distribuciones de electrones en un átomo. El cálculo de primer orden utiliza las distribuciones de electrones predichas por el modelo de un electrón del átomo. Este resultado se utiliza entonces para calcular la influencia de la distribución de carga de electrones alrededor del núcleo en la distribución de carga del átomo para una segunda iteración, etc.

Método de perturbación

La técnica de perturbación se puede aplicar si la fuerza se separa en dos partes\( F = F_1 + F_2 \) donde\( F_1 > > F_2 \) y la solución es conocida por la\( F_1 \) parte dominante de la fuerza. Entonces la corrección a esta solución debido a la adición de la perturbación\( F_2 \) suele ser más fácil de evaluar. Como ejemplo, considere que uno de los propulsores del transbordador espacial dispara. En principio uno tiene todas las fuerzas gravitacionales que actúan más la fuerza de empuje del propulsión. El enfoque de perturbación consiste en asumir que se conoce la trayectoria del Transbordador Espacial en el campo gravitacional de la tierra. Entonces la perturbación a este movimiento debido al empuje muy pequeño, producido por el propulsador, se evalúa como una pequeña corrección del movimiento en el campo gravitacional de la Tierra. Esta técnica de perturbación se utiliza ampliamente en la física, especialmente en la física cuántica. Un ejemplo de mi propia investigación es la dispersión de un ion\( 1 GeV \ ^{208}\) Pb en el campo Coulomb de un núcleo\( ^{197}\) Au. La trayectoria para la dispersión elástica es sencilla de calcular ya que ninguno de los núcleos está excitado y así se conservan la energía total y los momentos. Sin embargo, generalmente uno de estos núcleos será excitado internamente por la interacción electromagnética. Esto se llama excitación de Coulomb. El efecto de la excitación de Coulomb generalmente se puede tratar como una perturbación asumiendo que la trayectoria viene dada por la solución de dispersión elástica y luego calcular la probabilidad de excitación asumiendo que la excitación de Coulomb del núcleo es una pequeña perturbación a la trayectoria.