2.14: Ley de la Gravitación de Newton

La gravitación juega un papel fundamental en la mecánica clásica además de ser un ejemplo importante de una\( \big ( \frac{1}{r} \big ) ^2 \) fuerza central conservadora. Si bien es posible que no esté familiarizado con la siguiente presentación que aborda el campo gravitacional\( \mathbf{g} \), se supone que ha cumplido con la misma discusión al abordar el campo eléctrico\( \mathbf{E} \) en electrostática. La única diferencia es que la masa\(m\) reemplaza la carga\(e\) y el campo gravitacional\(\mathbf{g}\) reemplaza al campo eléctrico\( \mathbf{E} \). Por lo tanto, este capítulo está diseñado para ser una revisión de los conceptos que pueden ser utilizados para el estudio de cualquier campo central conservador del derecho del cuadrado inverso.

En 1666 Newton formuló la Teoría de la Gravitación que finalmente publicó en los Principia en 1687. La Ley de Gravitación de Newton establece que cada partícula de masa atrae a todas las demás partículas del universo con una fuerza que varía directamente como producto de la masa e inversamente como el cuadrado de la distancia entre ellas. Es decir, la fuerza sobre una masa puntual gravitacional\( m_G \) producida por una masa\( M_G \)

\[ \label{eq:2.143} \mathbf{F}_m = -G \frac{m_G M_G}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \]

donde\(\hat{\mathbf{r}}\) es el vector unitario apuntando desde la masa gravitacional\( M_G \) a la masa gravitacional\( m_g \) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Obsérvese que la fuerza es atractiva, es decir, apunta hacia la otra masa. Esto contrasta con la fuerza electrostática repulsiva entre dos cargas similares. La ley de Newton fue verificada por Cavendish usando una balanza de torsión. El valor experimental de\( G = (6.6726 \pm 0.0008 \times 10^{-11} \ N \times m^2 / kg^2 \)

La fuerza gravitacional entre partículas puntuales puede extenderse a cuerpos de tamaño finito utilizando el hecho de que el campo de fuerza gravitacional satisface el principio de superposición, es decir, la fuerza neta es la suma vectorial de las fuerzas individuales entre las partículas puntuales componentes. Así, la fuerza sumada sobre la distribución de masa es

\[ \label{eq:2.144} \mathbf{F} ( \mathbf{r} )_m = - G m_G \sum_{i=1}^n \frac{m_{G_i}}{r_i^2} \hat{\mathbf{r}}_i \]

donde\( \mathbf{r}_i \) es el vector de la masa gravitacional\(m_{G_i} \) a la masa gravitacional\( m_G \) en la posición\( \mathbf{r} \).

Para una distribución continua de la masa gravitacional\( \rho_G ( \mathbf{r^\prime} ) \), la fuerza neta sobre la masa gravitacional\( m_G \) en la ubicación se\( \mathbf{r} \) puede escribir como

\[ \label{eq:2.145} \mathbf{F}_m ( \mathbf{R} ) = -G m_G \int_v \frac{ \rho_G ( \mathbf{r^\prime} )\big ( \mathbf{\hat{r} - \hat{r^\prime} } \big ) }{ ( \mathbf{ \bar{r} - \bar{r^\prime} } ) ^2 } dv^\prime \]

donde\( dv^\prime \) está el elemento de volumen en el punto\( \mathbf{r^\prime } \) como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Fuerza gravitacional sobre la masa m debida a un elemento de volumen infinitossimal de la distribución de densidad de masa.

Masa gravitacional e inercial

Las leyes de Newton utilizan el concepto de masa\( m_I \equiv m \) inercial para\( \mathbf{F} \) relacionar la fuerza con la aceleración\( \mathbf{a} \)

\[ \label{eq:2.146} \mathbf{F} = m_I \mathbf{a} \]

y momento\( \mathbf{p} \) a velocidad\( \mathbf{v} \)

\[ \label{eq:2.147} \mathbf{p} = m_I \mathbf{v} \]

Es decir, la masa inercial es la constante de proporcionalidad que relaciona la aceleración con la fuerza aplicada.

El concepto de masa gravitacional\( m_G \) es la constante de proporcionalidad entre la fuerza gravitacional y la cantidad de materia. Es decir, en la superficie de la tierra, se supone que la fuerza gravitacional es

\[\label{eq:2.148} \mathbf{F}_G = m_G \bigg [ -G \sum_{i=1}^n \frac{m_{G_i}}{r_i^2} \hat{\mathbf{r}}_i \bigg ] = m_G \mathbf{g} \]

donde\(\mathbf{g}\) está el campo gravitacional que es una fuerza dependiente de la posición por unidad de masa gravitacional que apunta hacia el centro de la Tierra. La masa gravitacional se mide cuando se pesa un objeto.

La Ley de Gravitación de Newton conduce a la relación para el campo gravitacional\( \mathbf{g ( r ) } \) en la ubicación\( \mathbf{r} \) debido a una distribución de masa gravitacional en la ubicación\( \mathbf{r}^\prime \) dada por la integral sobre la densidad de masa gravitacional\( \rho_G \)

\[ \label{eq:2.149} \mathbf{g ( r )} = -G \int_V \frac{ \rho_G ( \mathbf{r}^{\prime} ) \big ( \mathbf{\hat{r} - \hat{r}{^\prime} } \big ) }{ ( \mathbf{ \bar{r} - \bar{r}^{\prime} } ) ^2 } d v^\prime \]

La aceleración de la materia en un campo gravitacional relaciona las masas gravitacional e inercial

\[ \label{eq:2.150} \mathbf{F} _G = m_G \mathbf{g} = m_I \mathbf{a} \]

Por lo tanto

\[ \label{eq:2.151} \mathbf{a} = \frac{m_G}{m_I} \mathbf{g} \]

Es decir, la aceleración de un cuerpo depende de la fuerza gravitacional\( g \) y de la relación de las masas gravitacionales e inerciales. Se ha demostrado experimentalmente que toda la materia está sujeta a la misma aceleración en vacío en una ubicación dada en un campo gravitacional. Es decir,\( \frac{m_G }{m_I} \) es una constante común a todos los materiales. Galileo lo mostró por primera vez cuando dejó caer objetos de la Torre de Pisa. Los experimentos modernos han demostrado que esto es cierto para 5 partes en 10 ¹³.

La equivalencia exacta de la masa gravitacional y la masa inercial se denomina principio débil de equivalencia que subyace a la Teoría General de la Relatividad como se discute en el capítulo\(17\). Es conveniente usar la misma unidad para las masas gravitacionales e inerciales y así ambas pueden escribirse en términos del símbolo de masa común\(m\).

\[ \label{eq:2.152} m_I = m_G = m \]

Por lo tanto los subíndices\(G\) y se\(I\) pueden omitir en las ecuaciones\ ref {eq:2.150} y\ ref {eq:2.152}. También la aceleración local debido a la gravedad se\( \mathbf{a} \) puede escribir como

\[ \label{eq:2.153} \mathbf{a = g} \]

El campo gravitacional\( \mathbf{g} \equiv \frac{\mathbf{F}}{m} \) tiene unidades de N/kg en el sistema MKS mientras que la aceleración\( \mathbf{a} \) tiene unidades\( m/s^2 \).

Energía potencial gravitacional\(U\)

Capítulo\(2.10.2\) mostró que un campo conservador puede expresarse en términos del concepto de una energía potencial\( U( \mathbf{r}) \) que depende de la posición. La diferencia energética potencial\( \Delta U_{a \rightarrow b} \) entre dos puntos\( \mathbf{r}_a \) y\( \mathbf{r}_b \), es el trabajo realizado moviéndose de\(a\) a\(b\) contra una fuerza\( \mathbf{F} \). Es decir:

\[ \label{eq:2.154} \Delta U_{a \rightarrow b} = U( \mathbf{r}_b ) - U( \mathbf{r}_a ) = - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} \]

En general, esta línea integral depende del camino que se tome.

Considere el campo gravitacional producido por la masa de un solo punto\(m_1 \). El trabajo realizado moviendo una masa\( m_0\) de\( r_a \) a\( r_b \) en este campo gravitacional se puede calcular a lo largo de un camino arbitrario que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) asumiendo la ley de gravitación de Newton. Entonces la fuerza sobre\( m_0 \) debido a la masa puntual\( m_1 \) es:

\[ \label{eq:2.155} \mathbf{F} = - G \frac{m_1 m_0}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Trabajo realizado contra un campo de fuerza que se mueve de a a b.

Expresar\( d\mathbf{l} \) en coordenadas esféricas\( d\mathbf{l} = dr \mathbf{\hat{r}} + rd\theta \mathbf{\hat{\theta}} + r \sin \theta d \phi \mathbf{\hat{\phi}} \) da que la ruta integral\ ref {eq:2.154} de\( ( r_a \theta_a \phi_a ) \) a\( ( r_b \theta_b \phi_b ) \) es

\[ \label{eq:2.156} \begin{split} \Delta U_{a \rightarrow b} & = & - \int_a^b \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_a^b \big [ G \frac{m_1m_2}{r^2} ( \mathbf{\hat{r} \cdot \widehat{r}} dr + \mathbf{\hat{r}} \cdot \mathbf{\hat{\theta}} d \theta + r \sin \theta \mathbf{\hat{r}} \cdot \hat{\mathbf{\phi}} d \phi ) \big ] = G \int_a^b \frac{m_1m_0}{r^2} \widehat{\mathbf{r}} \cdot \widehat{\mathbf{r}} dr \\ & = & -Gm_1m_0 \Big [ \frac{1}{r_b} - \frac{1}{r_a} \Big ] \end{split} \]

ya que el producto escalar de los vectores unitarios\( \mathbf{ \widehat{r} \cdot \widehat{r}} = 1 \). Observe que los dos segundos términos también cancelan ya que\( \mathbf{ \widehat{r} \cdot \hat{\theta}} = \mathbf{\hat{r} \cdot \hat{\phi}} = 0 \) ya que los vectores unitarios son mutuamente ortogonales. Así, la integral de línea solo depende solo de los radios inicial y final y es independiente de las coordenadas angulares o del camino detallado tomado entre\( ( r_a \theta_a \phi_a ) \) y\( ( r_b \theta_b \phi_b ) \).

Considere el Principio de Superposición para un campo gravitacional producido por un conjunto de n masas puntuales. La línea integral entonces se puede escribir como

\[ \label{eq:2.157} \Delta U_{a \rightarrow b }^{net} = -\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}_{net} \cdot d \mathbf{l} = - \sum_{i=1}^n \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{F}_i \cdot d \mathbf{l} = \sum_{i=1}^n \Delta U _{a \rightarrow b}^i \]

Así, la diferencia neta de energía potencial es la suma de las contribuciones de cada masa puntual produciendo el campo de fuerza gravitacional. Dado que cada componente es conservador, entonces la diferencia total de energía potencial también debe ser conservadora. Para una fuerza conservadora, esta integral de línea es independiente del camino tomado, solo depende de las posiciones inicial y final,\( \mathbf{r}_a\) y\( \mathbf{r}_b \). Es decir, la energía potencial es una función local que depende únicamente de la posición. La utilidad de la energía potencial gravitacional es que, dado que la fuerza gravitacional es una fuerza conservadora, es posible resolver muchos problemas en la mecánica clásica utilizando el hecho de que la suma de la energía cinética y la energía potencial es una constante. Obsérvese que el campo gravitacional es conservador, ya que la diferencia de energía potencial\( \Delta_{a \rightarrow b}^{net}\) es independiente del camino tomado. Es conservadora porque la fuerza es radial e independiente del tiempo, no se debe a la\( \frac{1}{r^2} \) dependencia del campo.

Potencial gravitacional\( \phi \)

El uso\( \mathbf{F} = m_0\mathbf{g} \) da que el cambio en la energía potencial debido al movimiento de una masa\( m_0 \) de\(a\) a\(b\) en un campo gravitacional\( \mathbf{g} \) es:

\[ \label{eq:2.158} \Delta U_{a \rightarrow b}^{net} = - m_0 \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_{net}\cdot d\mathbf{l} \]

Tenga en cuenta que la masa de la sonda tiene\( m_0 \) factores fuera de la integral. Es conveniente definir una nueva cantidad llamada potencial gravitacional\( \phi \) donde

\[ \label{eq:2.159} \Delta_{a \rightarrow b}^{net} = \frac{\Delta U_{a \rightarrow b}^{net}}{m_0} = -\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_{net} \cdot d \mathbf{l} \]

Es decir; la diferencia de potencial gravitacional es el trabajo que se debe hacer, por unidad de masa, para pasar de\(a\) a\(b\) sin cambio en la energía cinética. Tenga cuidado de no confundir la diferencia de energía potencial gravitacional\( \Delta U _{a \rightarrow b } \) y la diferencia de potencial gravitacional\( \Delta \phi_{a \rightarrow b} \), es decir,\( \Delta U \) tiene unidades de energía, Julios_, mientras que\( \Delta \phi \) tiene unidades de Julios/Kg.

El potencial gravitacional es una propiedad del campo de fuerza gravitacional; se da como menos la línea integral del campo gravitacional de\(a\) a\(b\). El cambio en la energía potencial gravitacional para mover una masa\( m_0 \) de\(a\) a\(b\) se da en términos de potencial gravitacional por:

\[\label{eq:2.160} \Delta U _{a \rightarrow b} ^{net} = m_0 \Delta \phi_{a \rightarrow b }^{net} \]

Superposición y potencial

Anteriormente se demostró que la fuerza gravitacional es conservadora para la superposición de muchas masas.

Para recapitular, si el campo gravitacional

\[ \label{eq:2.161} \mathbf{g}_{net} = \mathbf{g_1 + g_2 + g_3 } \]

entonces

\[ \label{eq: 2.162} \phi_{a \rightarrow b}^{net} = - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_{net} \cdot d \mathbf{l} = - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_1 \cdot d \mathbf{l} - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_2 \cdot d \mathbf{l} - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g}_3 \cdot d \mathbf{l} = \sum_i^n \phi_{a\rightarrow b} ^{i} \]

Así, el potencial gravitacional es un campo escalar aditivo simple porque se aplica el Principio de Superposición. El potencial gravitacional, entre dos puntos que difieren\(h\) en altura, es\(gh\). Claramente, cuanto mayor\(g\) o\(h\), mayor es la energía liberada por el campo gravitacional al dejar caer un cuerpo a través de la altura\(h\). La unidad de potencial gravitacional es la\( \frac{Joule}{Kg} \)

Teoría del potencial

Tanto la fuerza gravitacional como la fuerza electrostática obedecen a la ley cuadrada inversa, para lo cual el campo y el potencial correspondiente están relacionados por:

\[ \label{eq:2.163} \Delta \phi_{a \rightarrow b } = -\int_{r_a}^{r_b} \mathbf{g} \cdot d \mathbf{l} \]

para una distancia arbitraria infinitossimal del elemento\( d\mathbf{l} \) el cambio en el potencial eléctrico\( d \phi \) es

\[ \label{eq:2.164} d \phi= - \mathbf{g} \cdot d \mathbf{l} \]

Usando coordenadas cartesianas tanto\(\mathbf{g}\) y se\( d \mathbf{l} \) puede escribir como

\[ \label{eq:2.165} \mathbf{g} = \mathbf{\widehat{i}}g_x + \mathbf{\widehat{j}}g_y + \mathbf{\widehat{k}}g_z \hspace{6cm} d \mathbf{l} = \mathbf{\widehat{i}}dx + \mathbf{\widehat{j}}dy + \mathbf{\widehat{k}}dz \]

Tomando el producto escalar da:

\[ \label{eq:2.166} d \phi = - \mathbf{g} \cdot d \mathbf{l} = - g_x dx - g_y dy - g_z dz \]

El cálculo diferencial expresa el cambio de potencial\( d \phi \) en términos de derivadas parciales mediante:

\[ \label{eq:2.167} d \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy + \frac{\partial \phi}{\partial z} dz \]

Por asociación,\ ref {eq:2.166} y\ ref {eq:2.167} implican que

\[ \label{eq:2.168} \begin{align} g_x = - \frac{\partial \phi}{\partial x} & \hspace{2cm} g_y = - \frac{\partial \phi}{\partial y} & g_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{align} \]

Así, en cada eje, el campo gravitacional puede escribirse como menos el gradiente del potencial gravitacional. En tres dimensiones, el campo gravitacional es menos el gradiente total de potencial y el gradiente de la función escalar\( \phi \) puede escribirse como:

\[ \label{eq:2.169} \mathbf{g} = - \mathbf{\nabla} \phi \]

En coordenadas cartesianas esto es igual a

\[\label{eq:2.170}\mathbf{g} = - \Big [ \mathbf{\widehat{i}}\frac{\partial \phi} {\partial x} + \mathbf{\widehat{j}}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \mathbf{\widehat{k}}\frac{\partial \phi}{\partial z} \Big ] \]

Así, el campo gravitacional es solo el gradiente del potencial gravitacional, que siempre es perpendicular a los equipotenciales. Los esquiadores están familiarizados con el concepto de equipotenciales gravitacionales y el hecho de que la línea de descenso más empinado, y por lo tanto la aceleración máxima, es perpendicular a los equipotenciales gravitacionales de altura constante. La ventaja de utilizar la teoría del potencial para las fuerzas de ley del cuadrado inverso es que los potenciales escalares reemplazan a las fuerzas vectoriales más complicadas, lo que simplifica enormemente el cálculo. La teoría del potencial juega un papel crucial para el manejo de las fuerzas gravitacionales y electrostáticas.

Curl de campo gravitacional

Se ha demostrado que el campo gravitacional es conservador, es decir\( \Delta U _ {a \rightarrow b} \) es independiente del camino tomado entre\(a\) y\(b\) Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:2.159} da que el potencial gravitacional es independiente del camino tomado entre dos puntos\(a\) y\(b\). Considere dos posibles caminos entre\(a\) y\(b\) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). La línea integral de\(a\) a\(b\) vía ruta 1 es igual y opuesta a la línea integral de vuelta de\(b\) a\(a\) vía ruta 2 si el campo gravitacional es conservador como se mostró anteriormente.

Figura\(\PageIndex{3}\): Circulación del campo gravitacional.

Una mejor manera de expresar esto es que la línea integral del campo gravitacional es cero alrededor de cualquier camino cerrado. Así, la línea integral entre\(a\) y\(b\), a través de la ruta 1, y volviendo de nuevo a\(a\), a través de la ruta 2, son iguales y opuestas. Es decir, la integral de línea neta para un bucle cerrado es cero.

\[ \label{eq:2.171} \oint \mathbf{g}_{net} \cdot d \mathbf{l} = 0 \]

que es una medida de la circulación del campo gravitacional. El hecho de que la circulación sea igual a cero corresponde a la afirmación de que el campo gravitacional es radial para una masa puntual.

El teorema de Stokes, discutido en el apéndice\(19.8.3\), establece que

\[ \label{eq:2.172} \oint_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = \int_{\substack{Area \\ bounded \\ by \\ C }} ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} ) \cdot d \mathbf{S} \]

Así, la circulación cero del campo gravitacional se puede reescribir como

\[ \label{eq:2.173} \oint_C \mathbf{g} \cdot d \mathbf{l} = \int_{\substack{Area \\ bounded \\ by \\ C }} ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{g} ) \cdot d \mathbf{S} = 0 \]

Dado que esto es independiente de la forma del perímetro\(C\), por lo tanto

\[ \label{eq:2.174} \mathbf{\nabla} \times \mathbf{g} = 0 \]

Es decir, el campo gravitacional es un campo libre de rizos.

Una propiedad de cualquier campo libre de rizo es que se puede expresar como el gradiente de un potencial escalar\( \phi \) ya que

\[ \label{eq:2.175} \nabla \times \nabla \phi = 0 \]

Por lo tanto, el campo gravitacional libre de rizos puede estar relacionado con un potencial escalar\( \phi \) como

\[ \label{eq:2.176} \mathbf{g} = - \mathbf{ \nabla} \phi \]

Así\( \phi \) es consistente con la definición anterior de potencial gravitacional\( \phi \) en que el producto escalar

\[ \label{eq:2.177} \Delta \phi_{a \rightarrow b} = - \int_a^b \mathbf{g}_{net} \cdot d \mathbf{l} = \int_a^b ( \mathbf{\nabla} \phi ) \cdot d \mathbf{l} = \int_A^b \sum_i \frac{\partial \phi}{\partial x_i}dx_i = \int_a^b d \phi \]

Una relación idéntica entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico se aplica para el campo electrostático de ley de cuadrado inverso.

Potenciales de referencia

Obsérvese que solo las diferencias en la energía potencial\(U\),\( \phi \) y el potencial gravitacional,, son significativas, los valores absolutos dependen de alguna referencia elegida arbitrariamente. Sin embargo, a menudo es útil medir el potencial gravitacional con respecto a un punto de referencia particular elegido arbitrariamente\( \phi_a \) como el nivel del mar. Los pilotos de aviones deben establecer sus altímetros para leer con respecto al nivel del mar en lugar de su aeropuerto de salida. Esto asegura que los aviones que salen de digamos tanto Rochester,\(559^\prime\)\(msl\) como Denver\(5000^\prime\)\(msl\), tengan sus altímetros establecidos en una referencia común para asegurar que no colisionen. La fuerza gravitacional es el gradiente del campo gravitacional que solo depende de las diferencias de potencial, y por lo tanto es independiente de cualquier referencia constante.

Potencial gravitacional debido a distribuciones continuas de carga

Supongamos que la masa se distribuye sobre un volumen\( v \) con una densidad\( \rho \) en cualquier punto dentro del volumen. el potencial gravitacional en cualquier punto de campo\(p\) debido a un elemento de masa\( dm = \rho v \) en el punto\( p^\prime \) viene dado por:

\[ \label{eq:2.178} \Delta \phi_{\infty \rightarrow p} = -G \int_v \frac{ \rho ( p^\prime ) dv^\prime }{r_{p^\prime p } } \]

Esta integral es sobre una cantidad escalar. Dado que el potencial gravitacional\( \phi \) es una cantidad escalar, es más fácil de calcular que el campo gravitacional vectorial\(\mathbf{g}\). Si se conoce el campo de potencial escalar, entonces el campo gravitacional se deriva tomando el gradiente del potencial gravitacional.

Ley de Gauss para la Gravitación

El flujo\( \Phi \) del campo gravitacional\(\mathbf{g}\) a través de una superficie\(S\), como se muestra en la Figura,\(\PageIndex{4}\) se define como

\[ \label{eq:2.179} \Phi \equiv \int_S \mathbf{g} \cdot d \mathbf{S} \]

Tenga en cuenta que hay dos posibles direcciones perpendiculares que podrían elegirse para el vector de superficie\(d \mathbf{S} \). Usando la ley de gravitación de Newton para una masa puntual,\( m \) el flujo a través de la superficie\(S\) es

\[ \label{eq:2.180} \Phi = - Gm \int_S \frac{\widehat{\mathbf{r}} \cdot d \mathbf{S}}{r^2} \]

Tenga en cuenta que el ángulo sólido subtendido por la superficie\( dS \) en un ángulo\( \theta \) con la normal desde la masa puntual viene dado por

\[ \label{eq:2.181} d \Omega = \frac{ \cos \theta dS}{r^2} = \frac{\widehat{\mathbf{r}} \cdot d \mathbf{S}}{r^2} \]

Así, el flujo gravitacional neto es igual a

\[ \label{eq:2.182} \Phi = - Gm \int_S d \Omega \]

Figura\(\PageIndex{4}\): Flujo del campo gravitacional a través de un elemento dS de superficie infinitossimal.

Considere una superficie cerrada donde la dirección del vector de superficie\( d \mathbf{S} \) se define como hacia afuera. El flujo neto de esta superficie cerrada viene dado por

\[ \label{eq:2.183} \Phi = - Gm \oint_S \frac{\widehat{\mathbf{r}} \cdot d \mathbf{S}}{r^2} = - Gm \oint_S d \Omega = - Gm 4 \pi \]

Esto es independiente de dónde se encuentra la masa puntual dentro de la superficie cerrada o en la forma de la superficie cerrada. Tenga en cuenta que el ángulo sólido subtendido es cero si la masa puntual se encuentra fuera de la superficie cerrada. Así el flujo es como lo da la Ecuación\ ref {eq:2.183} si la masa está encerrada por la superficie cerrada, mientras que es cero si la masa está fuera de la superficie cerrada.

Dado que el flujo para una masa puntual es independiente de la ubicación de la masa dentro del volumen encerrado por la superficie cerrada, y usando el principio de superposición para el campo gravitacional, entonces para n masas puntuales encerradas el flujo neto es

\[ \label{eq:2.184} \Phi \equiv \int_S \mathbf{G} \cdot d \mathbf{S} = - 4 \pi G \sum_i^n m_i \]

Esto se puede extender a distribuciones de masa continuas, con densidad de masa local\( \rho \), dando que el flujo neto

\[ \label{eq:2.185} \Phi \equiv \int_S \mathbf{g} \cdot d \mathbf{S} = -4 \pi G \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv \]

El teorema de la divergencia de Gauss se dio en el apéndice\(19.8.2\) como

\[ \label{eq:2.186} \Phi = \oint_S \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} dv \]

La aplicación del teorema de la divergencia a la ley de Gauss da que

\[ \nonumber \Phi = \oint_s \mathbf{g} \cdot d \mathbf{S} = \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{g} dv = - 4 \pi G \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv \]

o

\[ \label{eq:2.187} \int_{\substack{enclosed \\ volume}} [ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{g} + 4 \pi G \rho ] dv = 0 \]

Esto es cierto independientemente de la forma de la superficie, de ahí la divergencia del campo gravitacional

\[ \label{eq:2.188} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{g} = -4 \pi G \rho \]

Esta es una afirmación de que el campo gravitacional de una masa puntual tiene una\( \frac{1}{r^2} \) dependencia.

Utilizando el hecho de que el campo gravitacional es conservador, esto puede expresarse como el gradiente del potencial gravitacional\(\phi\),

\[ \label{eq:2.189} \mathbf{g} = - \mathbf{\nabla} \phi \]

y la ley de Gauss, entonces se convierte en

\[ \label{eq:2.190} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{\nabla} \phi = 4 \pi G \rho \]

que también se puede escribir como la ecuación de Poisson

\[ \label{eq:2.191} \nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho \]

Conocer la distribución masiva\( \rho \) permite determinar el potencial resolviendo la ecuación de Poisson. Un caso especial que a menudo se encuentra es cuando la distribución de masa es cero en una región determinada. Entonces el potencial para esta región se puede determinar resolviendo la ecuación de Laplace con condiciones de límite conocidas.

\[ \label{eq:2.192} \nabla^2 \phi = 0 \]

Por ejemplo, la ecuación de Laplace se aplica en el espacio libre entre las masas. Se utiliza ampliamente en electrostática para calcular el potencial eléctrico entre conductores cargados que a su vez son equipotenciales.

Formas condensadas de la Ley de Gravitación de Newton

La discusión anterior ha dado como resultado varias expresiones alternativas de la Ley de Gravitación de Newton que se resumirán aquí. La declaración más directa de la ley de Newton es

\[ \label{eq:2.193} \mathbf{g ( r ) } = -G \int_V \frac{\rho ( \mathbf{r}^\prime ) \Big ( \mathbf{ \widehat{r} - \widehat{r}} \Big ) }{ ( \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime ) ^2} dv^\prime \]

Una manera elegante de expresar la Ley de Gravitación de Newton es en términos del flujo y la circulación del campo gravitacional. Eso es

Flujo:

\[ \label{eq:2.194} \Phi \equiv \int_S \mathbf{g} \cdot d \mathbf{S} = - 4\pi G \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv \]

Circulación:

\[ \label{eq:2.195} \oint \mathbf{g}_{net} \cdot d \mathbf{l} = 0 \]

El flujo y la circulación se expresan mejor en términos de los conceptos diferenciales vectoriales de divergencia y rizo.

Divergencia:

\[ \label{eq:2.196} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{g} = -4 \pi G \rho \]

Curl:

\[ \label{eq:2.197} \mathbf{\nabla} \times \mathbf{g} = 0 \]

Recuerde que el flujo y la divergencia del campo gravitacional son declaraciones de que el campo entre masas puntuales tiene una\( \frac{1}{r^2} \) dependencia. La circulación y el rizo son declaraciones de que el campo entre las masas puntuales es radial.

Debido a que el campo gravitacional es conservador es posible utilizar el concepto de campo de potencial escalar\( \phi \). Este concepto es especialmente útil para resolver algunos problemas ya que el potencial gravitacional puede evaluarse utilizando la integral escalar

\[ \label{eq:2.198} \Delta \phi_{\infty \rightarrow p} = - G \int_v \frac{\rho ( \rho^\prime ) d v^\prime}{r_{p^\prime p}} \]

Un enfoque alternativo es resolver la ecuación de Poisson si se conocen los valores límite y las distribuciones de masa donde la ecuación de Poisson es:

\[ \label{eq:2.199} \mathbf{\nabla}^2 \phi = 4 \pi G \rho \]

Estas expresiones alternas de la ley de la gravitación de Newton pueden ser explotadas para resolver problemas. El método de solución es idéntico al utilizado en electrostática.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): gravitational field of a uniform sphere

Consideremos el caso simple del campo gravitacional debido a una esfera uniforme de materia de radio\(R\) y masa\(M\). Luego, la densidad de masa volumétrica

\[ \nonumber \rho = \frac{3M}{4 \pi R^3} \]

El campo gravitacional y el potencial para esta esfera uniforme de la materia pueden derivarse de tres maneras;

a) El campo puede ser evaluado integrando directamente sobre el volumen

\[ \nonumber \mathbf{g ( r ) } = -G \int_S \frac{\rho ( \mathbf{r}^\prime ) \Big ( \mathbf{ \widehat{r} - \widehat{r}} \Big ) }{ ( \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime ) ^2} dV^\prime \]

b) El potencial puede ser evaluado directamente mediante la integración de

\[ \nonumber \Delta \phi_{\infty \rightarrow p} = - G \int_S \frac{\rho ( \rho^\prime ) d V^\prime}{r_{p^\prime p}} \]

y luego

\[ \nonumber \mathbf{g} = - \mathbf{\nabla} \phi \]

c) La obvia simetría esférica se puede utilizar junto con la ley de Gauss para resolver fácilmente este problema.

\[ \nonumber \int_S \mathbf{g} \cdot d \mathbf{S} = - 4\pi G \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv \]

\[ \nonumber \tag{r>R} 4 \pi r^2 g (r) = - 4 \pi GM \]

Es decir: para\(r > R\)

\[ \nonumber \tag{r>R} \mathbf{g} = - G \frac{M}{r^2}\mathbf{\widehat{r}} \]

Del mismo modo, para\(r < R\)

\[ \nonumber \tag{r<R} 4 \pi r^2 g ( r) = \frac{4 \pi}{3} r^3 \rho \]

Es decir:

\[ \nonumber \tag{r<R} \mathbf{g} = - G \frac{M}{R^3} \mathbf{r} \]

Figura\(\PageIndex{5}\): Campo gravitacional\(\mathbf{g}\) y potencial gravitacional\(\Phi\) de una distribución de masa esférica uniformemente densa del radio\(R\).

El campo dentro de la Tierra es radial y es proporcional a la distancia desde el centro de la Tierra. Esta es la Ley de Hooke, y haciendo caso omiso de la resistencia aérea, cualquier cuerpo caído por un agujero a través del centro de la Tierra sufrirá oscilaciones armónicas con una frecuencia angular de\( \omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \sqrt{\frac{g}{R}}\). Esto da un periodo de oscilación de 1.4 horas, que es aproximadamente la duración de una\(P235\) conferencia en mecánica clásica, lo que puede parecer mucho tiempo.

Claramente el método (c) es mucho más sencillo de resolver para este caso. En general, buscar una simetría que permita identificar una superficie sobre la cual la magnitud y dirección del campo sea constante. Para tales casos usa la ley de Gauss. De lo contrario, utilice los métodos (a) o (b) cualquiera que sea más fácil de aplicar. Otros ejemplos no se darán aquí ya que son esencialmente idénticos a los discutidos extensamente en electrostática.