2.E: Revisión de Mecánica Newtoniana (Ejercicios)

1. Dos partículas se proyectan desde un mismo punto con velocidades\(v_1\) y\(v_2\), en elevaciones\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\), respectivamente\((\alpha_1 > \alpha_2)\). Demostrar que si van a colisionar en el aire el intervalo entre los disparos debe ser\[\frac{2v_1 v_2 \sin (\alpha_1 − \alpha_2)}{g (v_1 \cos \alpha_1 + v_2 \cos \alpha_2)}.\nonumber\]

2. El tambaleador comprende dos pesos idénticos que cuelgan de brazos caídos unidos a una clavija como se muestra. El arreglo es inesperadamente estable y puede ser girado y balanceado con poco peligro de volcarse.

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Encuentre una expresión para la energía potencial del juguete de balanceo como una función de\(\theta\) cuando el juguete de balanceo está amasado en un ángulo\(\theta\) alrededor del punto de pivote. Para simplificar, considere solo el movimiento oscilante en el plano vertical.
2. Determinar los valores de equilibrio de\(\theta\).
3. Determinar si el equilibrio es estable, inestable o neutro para los valores\(\theta\) encontrados en la parte (b).
4. ¿Cómo se podrían determinar las respuestas a las partes (b) y (c) a partir de una gráfica de la energía potencial versus\(\theta\)?
5. Ampliar la expresión de la energía potencial alrededor\(\theta = 0\) y determinar la frecuencia de pequeñas oscilaciones.

3. Una partícula de masa\(m\) está restringida a moverse sobre la superficie interna sin fricción de un cono de medio ángulo\(\alpha\).

1. Encuentra las restricciones sobre las condiciones iniciales de tal manera que la partícula se mueve en una órbita circular alrededor del eje vertical.
2. Determinar si este tipo de órbita es estable. Una partícula de masa\(m\) está restringida a moverse sobre la superficie interna sin fricción de un cono de medio ángulo\(\alpha\), como se muestra en la figura.

4. Considera una varilla delgada de longitud\(L\) y masa\(M\).

1. Dibuja líneas de campo gravitacional y líneas equipotenciales para la varilla. ¿Qué se puede decir de las superficies equipotenciales de la varilla?
2. Calcular el potencial gravitacional en un punto\(P\) que está a una\(r\) distancia de un extremo de la varilla y en una dirección perpendicular a la varilla.
3. Calcular el campo gravitacional en\(P\) por integración directa.
4. ¿Podrías haber usado la ley de Gauss para encontrar el campo gravitacional en\(P\)? ¿Por qué o por qué no?

5. Considera una sola partícula de masa\(m\).

1. Determinar la posición\(r\) y velocidad\(v\) de una partícula en coordenadas esféricas.
2. Determinar la energía mecánica total de la partícula en potencial\(V\).
3. Supongamos que la fuerza es conservadora. \(F = −\nabla V\)Demuéstralo. Demostrar que concuerda con el teorema de Stoke.
4. Mostrar que se conserva el momento angular\(L = r \times p\) de la partícula. Pista:\(\frac{d}{dt} (A \times B) = A \times \frac{d{\bf B}}{dt} + \frac{d{\bf A}}{dt} \times B\).

6. Considera un fluido con densidad\(\rho\) y velocidad\(v\) en algún volumen\(V\). La corriente de masa\(J = \rho v\) determina la cantidad de masa que sale de la superficie por unidad de tiempo por la integral\(\int_S J \cdot dA\).

1. Utilizando el teorema de divergencia, probar la ecuación de continuidad,\(\nabla \cdot J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\)

7. Un cohete de masa inicial\(M\) quema combustible a velocidad constante\(k\) (kilogramos por segundo), produciendo una fuerza constante\(f\). La masa total de combustible disponible es\(m_o\). Supongamos que el cohete parte del reposo y se mueve en una dirección fija sin fuerzas externas que actúen sobre él.

1. Determinar la ecuación de movimiento del cohete.
2. Determinar la velocidad final del cohete.
3. Determinar el desplazamiento del cohete en el tiempo.

8. Considera un hemisferio sólido de radio\(a\). Calcular las coordenadas del centro de masa en relación con el centro de la superficie esférica utilizada para definir el hemisferio.

9. Un Ford de 2000 kg viajaba hacia el sur sobre el monte. Hope Avenue cuando chocó con tu auto deportivo de 1000 kg viajando hacia el oeste por la avenida Elmwood. Los dos autos mal dañados se enredaron en la colisión y dejan una marca de derrape que mide 20 metros de largo en una dirección 14\(^{\circ}\) al oeste de la dirección original de desplazamiento de la Excursión. El rico conductor de Excursion contrata a un abogado de alto poder que te acusa de acelerar por la intersección. Utilice sus conocimientos del P235, más el informe del oficial de policía sobre la dirección de retroceso, la longitud del derrape y el conocimiento de que es el coeficiente de fricción de deslizamiento entre las llantas y la carretera\(\mu = 0.6\), para deducir las velocidades originales de ambos autos. ¿Alguno de los autos superaba el límite de velocidad de 30 mph?

10. Una partícula de masa que\(m\) se mueve en una dimensión tiene energía potencial\(U(x) = U_0[2(\frac{x}{a})^2 − (\frac{x}{a})^4]\), donde\(U_0\) y\(a\) son constantes positivas.

1. Encuentra la fuerza\(F(x)\) que actúa sobre la partícula.
2. Croquis\(U(x)\). Encuentra las posiciones de equilibrio estable e inestable.
3. ¿Cuál es la frecuencia angular\(\omega\) de las oscilaciones sobre el punto de equilibrio estable?
4. ¿Cuál es la velocidad mínima que debe tener la partícula en el origen para escapar al infinito?
5. En\(t = 0\) la partícula está en el origen y su velocidad es positiva e igual a la velocidad de escape. Encuentra\(x(t)\) y dibuja el resultado.

11.

1. Considera un cohete de una sola etapa que viaja en línea recta sujeto a una fuerza externa\(F^{ext}\) que actúa a lo largo de la misma línea donde\(v_{ex}\) está la velocidad de escape del combustible expulsado en relación con el cohete. Demostrar que la ecuación de movimiento es\[m\dot{v} = -\dot{m}v_{ex} + F^{ext} \nonumber\]
2. Especializarse en el caso de un cohete despegando verticalmente del reposo en un campo gravitacional uniforme\(g\). Supongamos que el cohete expulsa masa a una velocidad constante de\(\dot{m} = −k\) donde\(k\) es una constante positiva. Resolver la ecuación del movimiento para derivar la dependencia de la velocidad en el tiempo.
3. El primer par de minutos del lanzamiento del Transbordador Espacial se puede describir aproximadamente por; masa inicial\(= 2 \times 10^6\) kg, masa después de 2 minutos =\(1 \times 10^6\) kg, velocidad de escape\(v_{ex} = 3000\) m/s y velocidad inicial es cero. Estimar la velocidad del Transbordador Espacial después de dos minutos de vuelo.
4. Describir qué pasaría con un cohete donde\(\dot{m}v_{ex} < mg\).

12. Un campo independiente del tiempo\(F\) es conservador si\(\nabla \times F = 0\). Utilice este hecho para probar si los siguientes campos son conservadores, y derivar el potencial correspondiente\(U\).

1. \(F_x = ayz + bx + c, F_y = axz + bz, F_z = axy + by\)
2. \(F_x = -ze^{-x}, F_y = \ln z, F_z = e^{-x} + \frac{y}{z}\)

13. Considera un cilindro sólido de masa\(m\) y radio que se\(r\) desliza sin rodar por la cara inclinada lisa de una cuña de masa\(M\) que es libre de deslizarse sin fricción sobre un piso plano horizontal. Utilice las coordenadas que se muestran en la figura.

1. ¿Qué tan lejos se ha movido la cuña para cuando el cilindro ha descendido del reposo una distancia vertical\(h\)?
2. Ahora supongamos que el cilindro es libre para rodar por la cuña sin deslizarse. ¿Qué tan lejos se mueve la cuña en este caso si el cilindro rueda hacia abajo una distancia vertical\(h\)?
3. ¿En qué caso el cilindro llega al fondo más rápido? ¿Cómo depende esto del radio del cilindro?

Figura\(\PageIndex{2}\)

14. Si el vector de campo gravitacional es independiente de la distancia radial dentro de una esfera, encuentre la función que describe la densidad\(\rho (r)\) de masa de la esfera.