2.S: Mecánica Newtoniana (Resumen)

Las leyes del movimiento de Newton

Se ha presentado una revisión superficial de la mecánica newtoniana. El concepto de marcos inerciales de referencia se introdujo ya que las leyes del movimiento de Newton se aplican solo a los marcos inerciales de referencia.

Ley del movimiento de Newton

\[ \tag{2.2.2} \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \]

conduce a ecuaciones de movimiento de segundo orden que pueden ser difíciles de manejar para sistemas de muchos cuerpos.

La solución de las ecuaciones de movimiento de segundo orden de Newton se puede simplificar usando las tres integrales de primer orden junto con las leyes de conservación correspondientes. La integral de tiempo de primer orden para el impulso lineal es

\[ \tag{2.4.1} \int_1^2 \mathbf{F}_i dt = \int_1^2 \frac{d\mathbf{p}_i}{dt}dt = ( \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 ) _i \]

La integral de tiempo de primer orden para el momento angular es

\[ \tag{2.4.7} \frac{d\mathbf{L}_i}{dt} = \mathbf{r}_i \times \frac{d \mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{N}_i \hspace{4 cm} \int_1^2 \mathbf{N}_i dt = \int_1^2 \frac{d\mathbf{L}_i}{dt}dt = ( \mathbf{L}_2 - \mathbf{L}_1) _i \]

La integral espacial de primer orden está relacionada con la energía cinética y el concepto de trabajo. Eso es

\[ \tag{2.4.12} \mathbf{F}_i = \frac{dT_i}{d\mathbf{r}_i} \hspace{4 cm} \int_1^2 \mathbf{F}_i \cdot d\mathbf{r}_i = ( T_2 - T_1) _i \]

Se discutieron las condiciones que conducen a la conservación del momento lineal y angular y la energía mecánica total para sistemas de muchos cuerpos. Se demostró que la clase importante de fuerzas conservadoras se aplicaba si la fuerza dependiente de la posición no depende del tiempo o la velocidad, y si el trabajo realizado por una fuerza\( \int_1^2 \mathbf{F}_i \cdot d \mathbf{r}_i \) es independiente del camino tomado entre las ubicaciones inicial y final. La energía mecánica total es una constante de movimiento cuando las fuerzas son conservadoras.

Se demostró que el concepto de centro de masa de un cuerpo de muchos cuerpos o de tamaño finito se separa naturalmente para las tres integrales de primer orden. El centro de masa es ese punto sobre el cual

\[ \tag{Centre of mass definition} \sum_i^n m_i \mathbf{r}_i^\prime = \int \mathbf{r}^\prime \rho dV = 0 \]

donde\( \mathbf{r}_i^\prime \) es el vector que define la ubicación de la masa\( m_i \) con respecto al centro de masa. El concepto de centro de masa simplifica enormemente la descripción del movimiento de cuerpos de tamaño finito y sistemas de muchos cuerpos al separar las interacciones internas importantes y la física subyacente correspondiente, del movimiento traslacional general trivial de un sistema de muchos cuerpos.

El teorema del Virial establece que las propiedades promediadas en el tiempo están relacionadas por

\[ \tag{2.11.7} \langle T \rangle = - \frac{1}{2} \Bigg \langle \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \Bigg \rangle \]

Se demostró que el teorema de Virial es útil para relacionar las energías cinéticas y potenciales promediadas en el tiempo, especialmente para casos que involucran fuerzas lineales o inversas cuadradas.

Se presentaron ejemplos típicos de la aplicación de las ecuaciones de movimiento de Newton a sistemas de resolución que involucran fuerzas constantes, lineales, dependientes de la posición, dependientes de la velocidad y dependientes del tiempo, a sistemas restringidos y no restringidos, así como sistemas con masa variable. También se discutió la rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje de rotación fijo al cuerpo.

Es importante conocer las siguientes limitaciones que se aplican a las leyes del movimiento de Newton:

1) La mecánica newtoniana asume que todos los observables se miden con una precisión ilimitada, es decir,\( t, E, \mathbf{P}, \mathbf{r} \) se conocen exactamente. La física cuántica introduce límites a la medición debido a la dualidad onda-partícula.

2) La visión newtoniana es que el tiempo y la posición son conceptos absolutos. La Teoría de la Relatividad demuestra que esto no es cierto. Afortunadamente para la mayoría de los problemas\( v < < c \) y por lo tanto la mecánica newtoniana es una excelente aproximación.

3) Otra limitación, que se discutirá más adelante, es que no resulta práctico resolver las ecuaciones de movimiento para muchos cuerpos que interactúan como las moléculas en un gas. Entonces es necesario recurrir al uso de promedios estadísticos, a este enfoque se le llama mecánica estadística.

La obra de Newton constituye una teoría del movimiento en el universo que introduce el concepto de causalidad. La causalidad es que existe una correspondencia uno a uno entre la causa de efecto. Cada fuerza provoca un efecto conocido que se puede calcular. Así, el universo causal es representado por los filósofos como una máquina gigante cuyas partes se mueven como un reloj de una manera predecible y predeterminada según las leyes de la naturaleza. Esta es una visión determinista de la naturaleza. Hay problemas filosóficos en que tal punto de vista determinista parece ser contrario al libre albedrío. Es decir, llevado al extremo implica que estabas predestinado a leer este libro porque ¡es una consecuencia natural de este universo mecánico!

Las leyes de la gravitación de Newton

Las Leyes de la Gravitación de Newton y las Leyes de la Electrostática son esencialmente idénticas ya que ambas implican una dependencia central inversa de la ley cuadrada de las fuerzas. La diferencia importante es que la fuerza gravitacional es atractiva mientras que la fuerza electrostática entre cargas idénticas es repulsiva. Es decir, la constante gravitacional G es reemplazada por\( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \), y la densidad de masa\( \rho \) se convierte en la densidad de carga para el caso de la electrostática. En consecuencia es innecesario hacer un estudio detallado de la ley de la gravitación de Newton ya que es idéntica a lo que ya se ha estudiado en sus cursos electrostáticos acompañantes. La tabla\(\PageIndex{1}\) resume y compara las leyes de la gravitación y la electrostática. Tanto para la gravitación como para la electrostática el campo es central y conservador y depende como\( \frac{1}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \).

Las leyes de la gravitación y la electrostática se pueden expresar de una forma más útil en términos del flujo y circulación del campo gravitacional tal como se dan en las formas integrales vectoriales o diferenciales vectoriales. La independencia radial del flujo, y la correspondiente divergencia, es una afirmación de que los campos son radiales y tienen una\( \frac{1}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \) dependencia. El enunciado de que la circulación, y el rizo correspondiente, son cero es una afirmación de que los campos son radiales y conservadores.

Cuadro\(\PageIndex{1}\): Comparación de la ley de gravitación de Newton y la electrostática.

	Gravitación	Electrostática
Campo de fuerza	\(\mathbf{g} \equiv \frac{\mathbf{F}_G}{m}\)	\(\mathbf{E} \equiv \frac{\mathbf{F}_E}{g}\)
Densidad	Densidad de masa\(\rho ({\bf r}^\prime )\)	Densidad de carga\(\rho ({\bf r}^\prime )\)
Campo central conservador	\(\mathbf{g(r)} = -G \int_V \frac{\rho (\mathbf{r}^\prime ) ( \mathbf{\hat{r} - \hat{r^\prime}})}{(\mathbf{r - r^\prime})^2} dv^\prime\)	\(\mathbf{E(\bar{r})} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_V \frac{\rho (\mathbf{r}^\prime ) ( \mathbf{\hat{r} - \hat{r^\prime}})}{(\mathbf{r - r^\prime})^2} dv^\prime\)
Flux	\(\Phi \equiv \int_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{S} = -4\pi G \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv\)	\(\Phi \equiv \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\substack{enclosed \\ volume}} \rho dv\)
Circulación	\(\oint\mathbf{g}_{net} \cdot d\mathbf{l} = 0\)	\(\oint\mathbf{E}_{net} \cdot d\mathbf{l} = 0\)
Divergencia	\(\nabla \cdot \mathbf{g} = -4\pi G \rho\)	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho\)
Curl	\(\nabla \times \mathbf{g} = 0\)	\(\nabla \times \mathbf{E} = 0\)
Potencial	\(\Delta \phi_{\infty \rightarrow p} = -G \int_v \frac{\rho (p^\prime ) d v^\prime}{r_{p^\prime p}} \)	\(\Delta \phi_{\infty \rightarrow p} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_v \frac{\rho (p^\prime ) d v^\prime}{r_{p^\prime p}} \)
Ecuación de Poisson	\(\nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho \)	\(\nabla^2 \phi = - \frac{1}{\epsilon_0} \rho\)

Tanto los campos centrales gravitacionales como los electrostáticos son conservadores, lo que permite utilizar el concepto de campo de potencial escalar\( \phi \). Este concepto es especialmente útil para resolver algunos problemas ya que el potencial puede ser evaluado utilizando una integral escalar. Un enfoque alternativo es resolver la ecuación de Poisson si se conocen los valores límite y las distribuciones de masa. Los métodos de solución de la ley de gravitación de Newton son idénticos a los utilizados en electrostática y son fácilmente accesibles en la literatura.