3.2: Fuerzas de Restauración Lineales

Un sistema oscilatorio requiere que haya un equilibrio estable alrededor del cual ocurran las oscilaciones. Considerar un sistema conservador con energía potencial\( U \) para el cual la fuerza viene dada por

\[ \label{eq:3.1} \mathbf{F} = - \mathbf{\nabla}U \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Estabilidad para un potencial unidimensional U (x).

La figura\(\PageIndex{1}\) ilustra un sistema conservador que tiene tres ubicaciones en las que la fuerza restauradora es cero, es decir, donde el gradiente del potencial es cero. Las oscilaciones estables ocurren solo alrededor de las ubicaciones 1 y 3, mientras que el sistema es inestable en la ubicación de gradiente cero 2. El punto 2 se denomina separatriz en que un desplazamiento infinitossimal de la partícula desde esta separatriz hará que la partícula diverja hacia el mínimo 1 o 3 dependiendo de qué lado de la separatriz se desplaza la partícula.

Los requisitos para oscilaciones estables alrededor de cualquier punto\(x_0\) son que la energía potencial debe tener las siguientes propiedades.

Requerimientos de estabilidad

1. El potencial tiene una posición estable para la cual la fuerza restauradora es cero, i.e.\( ( \frac{dU}{dx} )_{x = x_0} = 0 \)
2. El potencial\( U \) debe ser positivo y una función parejo del desplazamiento\( x - x_0 \). Eso es. \( \big ( \frac{d^n U}{dx_n} \big ) _{x_0} > 0 \)donde\(n\) es parejo.

El requisito para que la fuerza restauradora sea lineal es que la fuerza restauradora para la perturbación alrededor de un equilibrio estable en\(x_0 \) sea de la forma

\[ \label{eq:3.2} \mathbf{F} = -\alpha ( x - x_0) = m \ddot{x} \]

La función de energía potencial para un oscilador lineal tiene una forma parabólica pura alrededor de la ubicación mínima, es decir,

\[ \label{eq:3.3} U = \frac{1}{2} k ( x - x_0)^2 \]

donde\( x_0 \) está la ubicación del mínimo.

La mayoría de los sistemas oscilatorios implican pequeñas oscilaciones de amplitud alrededor de un mínimo estable. Para sistemas no lineales débiles, donde la amplitud de oscilación\( \Delta x \) alrededor del mínimo es pequeña, es útil hacer una expansión Taylor de la energía potencial alrededor del mínimo. Eso es

\[ \label{eq:3.4} U ( \Delta x ) = U ( x_0 ) + \Delta x \frac{dU ( x_0)}{dx} + \frac{\Delta x^2}{2!} \frac{d^2 U ( x _0 )}{dx^2} + \frac{\Delta x^3}{3!} \frac{d^3 U ( x_0 )}{dx^3} + \frac{\Delta x^4}{4!} \frac{d^4 U ( x_0 )}{dx^4} + \dots \]

Por definición, al mínimo\( \frac{dU ( x_0 )}{dx} = 0, \) y así la Ecuación\ ref {eq:3.3} puede escribirse como

\[ \label{eq:3.5} \Delta U = U ( \Delta x ) - U ( x_0 ) = \frac{\Delta x^2}{2!} \frac{d^2 U ( x _0 )}{dx^2} + \frac{\Delta x^3}{3!} \frac{d^3 U ( x_0 )}{dx^3} + \frac{\Delta x^4}{4!} \frac{d^4 U ( x_0 )}{dx^4} + \dots \]

Para pequeñas oscilaciones de amplitud, el sistema es lineal si el\( \frac{\Delta x^2}{2!} \frac{d^2 U ( x _0 )}{dx^2} \) término de segundo orden en la Ecuación\ ref {eq:3.2} es dominante.

La linealidad para oscilaciones de pequeña amplitud simplifica enormemente la descripción del movimiento oscilatorio y se evita el movimiento caótico complicado. La mayoría de los sistemas físicos son aproximadamente lineales para oscilaciones de pequeña amplitud, y así el movimiento cercano al equilibrio se aproxima a un oscilador armónico lineal.