3.3: Linealidad y Superposición

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Un aspecto importante de los sistemas lineales es que las soluciones obedecen al Principio de Superposición, es decir, para la superposición de diferentes modos oscilatorios, las amplitudes se suman linealmente. El oscilador lineal amortiguado linealmente es un ejemplo de un sistema lineal en el sentido de que involucra solo operadores lineales, es decir, puede escribirse en forma de operador (apéndice\(19.6.2\))

\[ \label{eq:3.6} \Big ( \frac{d^2}{dt^2} + \Gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2 \Big ) x (t) = A \cos \omega t \]

La cantidad en los corchetes en el lado izquierdo es un operador lineal que puede ser designado por\(\mathbb{L}\) donde

\[ \label{eq:3.7} \mathbb{L} x (t) = F (t) \]

Una característica importante de los operadores lineales es que obedecen el principio de superposición. Esta propiedad resulta del hecho de que los operadores lineales son distributivos, es decir

\[ \label{eq:3.8} \mathbb{L} ( x_1 + x_2 ) = \mathbb{L} ( x_1 ) + \mathbb{L}(x_2) \]

Por lo tanto, si hay dos soluciones\( x_1 (t) \) y\( x_2 (t) \) para dos funciones de forzamiento diferentes\( F_1 (t) \) y\( F_2 ( t) \)

\[ \label{eq:3.9} \begin{align*} \mathbb{L}x_1(t) & = & F_1(t) \\ \mathbb{L}x_1(t) & = & F_2(t) \end{align*} \]

entonces la adición de estas dos soluciones, con constantes arbitrarias, también es una solución para operadores lineales.

\[ \label{eq:3.10} \mathbb{L} ( \alpha_1 x_! + \alpha _2 x_2 ) = \alpha_1 F_1 (t) + \alpha_2 F_2 (t) \]

En general entonces

\[ \label{eq:3.11} \mathbb{L} \Bigg ( \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n (t) \Bigg ) = \Bigg ( \sum_{n=1}^N \alpha_n F_n (t) \Bigg ) \]

El soporte izquierdo se puede identificar como la combinación lineal de soluciones

\[ \label{eq:3.12} x(t) = \sum_{n=1}^N \alpha_n x_n (t) \]

mientras que la fuerza impulsora es una superposición lineal de fuerzas armónicas

\[ \label{eq:3.13} F(t) = \sum_{n=1}^N \alpha_n F_n (t) \]

Así, estas combinaciones lineales también satisfacen la ecuación lineal general

\[ \label{eq:3.14} \mathbb{L} x(t) = F(t) \]

La aplicabilidad del Principio de Superposición a un sistema proporciona una tremenda ventaja para manejar y resolver las ecuaciones de movimiento de sistemas oscilatorios.