3.8: Soluciones de onda itinerante y estacionaria de la ecuación de onda

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La ecuación de onda puede tener soluciones tanto itinerantes como estacionarias. Considere una onda viajera unidimensional con velocidad\(v\) que tenga un número de onda específico\(k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} \). Entonces la onda viajera se escribe mejor en términos de la fase de la ola como

\[ \label{eq:3.97} \Psi(x,t) = A(k)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(x \mp vt)} = A(k)e^{i(kx \mp \omega t)}\]

donde el número de onda\(k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} \),\(\lambda\) siendo la longitud de onda, y la frecuencia angular\(\omega \equiv kv \). Esta solución particular satisface la ecuación de onda y corresponde a una onda viajera con velocidad de fase\( v = \frac{\omega_n}{k_n}\) en la dirección positiva o negativa\(x\) dependiendo de si el signo es negativo o positivo. Suponiendo que se aplique el principio de superposición, entonces la superposición de estas dos soluciones particulares de la ecuación de onda puede escribirse como

\[ \label{eq:3.98} \Psi(x,t) = A(k)(e^{i (kx - \omega t)} + e^{i(kx + \omega t)}) = A(k)e^{ikx}(e^{- i \omega t} + e^{i \omega t}) = 2A(k)e^{ikx} \cos \omega t \]

Así, la superposición de dos ondas viajeras idénticas de longitud de onda única que se propagan en direcciones opuestas puede corresponder a una solución de onda estacionaria. Tenga en cuenta que una onda estacionaria es idéntica a un modo normal estacionario del sistema discutido en el capítulo\(14\). Esta transformación entre ondas estacionarias y viajeras puede invertirse, es decir, la superposición de dos ondas estacionarias, es decir, modos normales, puede conducir a una solución de onda viajera de la ecuación de onda. La discusión de las formas de onda se simplifica al usar cualquiera de los dos límites siguientes.

1) La dependencia temporal de la forma de onda en una ubicación dada\(x = x_0\) que se puede expresar usando una descomposición de Fourier, apéndice\(19.9.2\), de la dependencia del tiempo en función de la frecuencia angular\( \omega = n\omega_0\).

\[ \label{eq:3.99}\Psi(x_0,t) = \sum_{n= - \infty}^\infty A_n e^{in(k_0x_0-\omega_0t)} = \sum_{n= - \infty}^\infty B_n (x_0)e^{-in\omega_0t}\]

2) La dependencia espacial de la forma de onda en un instante dado\(t = t_0\) que se puede expresar usando una descomposición de Fourier de la dependencia espacial en función del número de onda\( k = nk_0\)

\[ \label{eq:3.100}\Psi(x,t_0) = \sum_{n= - \infty}^\infty A_n e^{in(k_0x-\omega_1t_0)} = \sum_{n= - \infty}^\infty C_n (t_0)e^{ink_0x}\]

Lo anterior es aplicable tanto a sistemas de osciladores lineales discretos o continuos, por ejemplo, ondas en una cuerda. En resumen, los modos normales estacionarios de un sistema se obtienen mediante una superposición de ondas viajeras que viajan en direcciones opuestas, o equivalentemente, las ondas viajeras pueden resultar de una superposición de modos normales estacionarios.