3.9: Análisis de forma de onda
- Page ID
- 126279
Descomposición armónica
Como se describe en el apéndice\(19.9\), cuando se aplica la superposición, entonces se puede hacer una descomposición en serie de Fourier de la forma\ ref {eq:3.101} de cualquier función periódica donde
\[\label{eq:3.101} F(t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \cos(n\omega_0t + \phi_n ) \]
o la Transformada de Fourier más general se puede hacer para una función aperiódica donde
\[\label{eq:3.102} F(t) = \int \alpha (\omega) \cos(\omega t + \phi(\omega)) dt \]
Cualquier sistema lineal que esté sujeto a la función de forzamiento\(F(t)\) tiene una salida que puede expresarse como una superposición lineal de las soluciones de los componentes armónicos individuales de la función de forzamiento. El análisis de Fourier de formas de onda periódicas en términos de funciones trigonométricas armónicas juega un papel clave en la descripción del movimiento oscilatorio en la mecánica clásica y el procesamiento de señales para sistemas lineales. El teorema de Fourier establece que cualquier función de forzamiento arbitrario se\(F(t)\) puede descomponer en una suma de términos armónicos. Como consecuencia, se pueden usar dos representaciones equivalentes para describir señales y ondas; la primera es en el dominio del tiempo que describe la dependencia del tiempo de la señal. El segundo se encuentra en el dominio de la frecuencia que describe la descomposición de frecuencia de la señal. El análisis de Fourier relaciona estas representaciones equivalentes.
Por ejemplo, la superposición de dos osciladores armónicos de igual intensidad en el dominio del tiempo viene dada por
\[ \label{eq:3.103} y(t) = A\cos(\omega_1t) + A\cos(\omega_2t) \\ = 2A\cos \Bigg [ \Bigg ( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \Bigg ) t \Bigg] \cos \Bigg [ \Bigg (\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \Bigg ) t \Bigg ]\]
El oscilador lineal libre amortiguado linealmente
La respuesta del oscilador lineal libre, linealmente amortiguado, es una de las formas de onda más frecuentes en la ciencia y por lo tanto es útil investigar la transformada de Fourier de esta forma de onda. La forma de onda amortiguada para el caso subamortiguado, mostrada en la figura (3.5.1) viene dada por la ecuación (3.5.12), es decir
\[ \begin{align} \label{eq:3.104} f(t) & = & Ae^{-\frac{\Gamma}{2}t}\cos(\omega_1t-\delta) && t \geq 0 \\ \label{eq:3.105} f(t) & = & 0 && t < 0 \end{align}\]
dónde\(\omega_1^2 = \omega_0^2 - \big ( \frac{\Gamma}{2} \big )^2 \) y dónde\( \omega_0\) está la frecuencia angular del sistema de amortiguación insuficiente. La transformada de Fourier viene dada por
\[\label{eq:3.106} G(\omega) = \frac{\omega_0}{(\omega^2 - \omega_1^2)^2 + (\Gamma \omega)^2} [ (\omega^2 - \omega_1^2) - i \Gamma \omega ] \]
que es complejo y tiene la famosa forma Lorentz.
La intensidad de la ola da
\[|f(t)|^2 = A^2 e^{-\Gamma t} \cos^2 (\omega_1 t - \delta) \label{3.107}\]
\[ |G ( \omega)|^2 = \frac{\omega^2_0}{(\omega^2 - \omega^2_1)^2 + ( \Gamma \omega )^2} \label{3.108} \]
Tenga en cuenta que desde el promedio sobre\(2\pi\) de\(\cos^2 = \frac{1}{2}\), entonces el promedio a lo largo del\(\cos^2 (\omega_1 t − \delta)\) término da la intensidad\(I(t) = \frac{A^2}{2} e^{−\Gamma t}\) que tiene una vida media para la decadencia de\(\tau = \frac{1}{\Gamma}\). La\(|G (\omega )|^2\) distribución tiene la forma clásica lorentziana, mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\), que tiene un ancho completo a la mitad del máximo, FWHM, igual a\(\Gamma\). Tenga en cuenta que\(G (\omega )\) es complejo y así también se puede determinar el desplazamiento de fase\(\delta\) que viene dado por la relación de las partes imaginarias a reales de la Ecuación\ ref {eq:3.105}, i.e\(\tan \delta = \frac{\Gamma\omega}{ (\omega^2−\omega^2_1)}\).
La vida media de la decaimiento exponencial de la intensidad se puede determinar ya sea midiendo\(\tau\) desde la dependencia del tiempo, o midiendo el FWHM\(\Gamma = \frac{1}{\tau}\) de la transformada de Fourier\(|G (\omega )|^2\). En la física nuclear y atómica, los niveles excitados decaen por emisión de fotones con la forma de onda del oscilador lineal libre, amortiguado linealmente. Típicamente, la vida media\(\tau\) generalmente se puede medir cuando\(\tau \gtrsim 10^{−12} s\) mientras que para vidas más cortas el ancho de radiación\(\Gamma\) se vuelve suficientemente grande para ser medido. Así, los dos enfoques experimentales son complementarios.
Oscilador lineal amortiguado sujeto a una fuerza periódica arbitraria
El teorema de Fourier establece que cualquier función de forzamiento arbitrario se\(F(t)\) puede descomponer en una suma de términos armónicos. Considere la respuesta de un oscilador lineal amortiguado a una fuerza periódica arbitraria.
\[F(t) = \sum^{N}_{n=0} \alpha_n F_0 ( \omega_n) \cos (\omega_n t + \delta_n) \label{3.109}\]
Para cada término armónico\(\omega_n\) la respuesta de un oscilador lineal amortiguado linealmente a la función de forzamiento\(F(t) = F_0 (\omega) \cos ( \omega_n t)\) viene dada por la ecuación (3.6.18-3.6.20) para ser
\[\begin{align} x(t)_{Total} & = & x(t)_T + x(t)_S \nonumber \\ & = & \frac{F_0 (\omega_n)}{m} \left[ e^{-\frac{\Gamma}{2}t} \cos (\omega_1 t - \delta_n) + \frac{1}{\sqrt{ (\omega^2_0 - \omega^2_n)^2 + (\Gamma \omega_n)^2}} \cos (\omega_n t - \delta_n) \right] \label{3.110} \end{align}\]
La amplitud se obtiene sustituyendo en la Ecuación\ ref {3.110} los valores\(\frac{F_0 (\omega_n)}{m}\) derivados del análisis de Fourier.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Vibration isolation
Frecuentemente se desea aislar la instrumentación de la influencia de las vibraciones externas horizontales y verticales que existen en su entorno. Una disposición para lograr este aislamiento es montar una base pesada de masa\(m\) sobre resortes débiles de constante de resorte\(k\) más amortiguación débil. La respuesta de este sistema viene dada por la Ecuación\ ref {3.109} que exhibe una resonancia a la frecuencia angular\(\omega^2_R = \omega^2_0 − 2 ( \frac{\Gamma}{2})^2\) asociada a cada frecuencia resonante\(\omega_0\) del sistema. Para cada frecuencia resonante el sistema amplifica la amplitud vibracional para frecuencias angulares cercanas a la resonancia es decir, por debajo\(\sqrt{2} \omega_0\), mientras atenúa la vibración aproximadamente por un factor de\((\frac{\omega_0}{\omega})^2\) a frecuencias más altas. Para evitar la amplificación cerca de la resonancia es necesario hacer\(\omega_0\) mucho más pequeño que el rango de frecuencia del espectro vibratorio y tener un\(Q\) valor moderadamente alto. Esto se logra mediante el uso de una base muy pesada y una constante de resorte débil por lo que\(\omega_0\) es muy pequeña. Una tabla típica puede tener la frecuencia de resonancia a 0.5\(Hz\) que está muy por debajo de las frecuencias vibracionales perturbadoras típicas, y así la tabla atenúa la vibración en un 99% a 5\(Hz\) e incluso más atenuación para perturbaciones de frecuencia más altas. Este principio se utiliza ampliamente en el diseño de mesas de aislamiento de vibraciones para equipos ópticos o microbalanzas.
