3.7: Ecuación de onda

El movimiento de las olas es una característica ubicua en la naturaleza. El movimiento de las ondas mecánicas se manifiesta por ondas transversales en superficies fluidas, ondas sísmicas longitudinales y transversales que viajan a través de la Tierra y vibraciones de estructuras mecánicas como cables suspendidos. El movimiento de las ondas acústicas se produce en las cuerdas estiradas del violín, así como en las cavidades de los instrumentos de viento. El movimiento de las ondas electromagnéticas incluye longitudes de onda que van desde\(10^5 \ m \) las ondas de radio hasta\(10^{-13} \ m \ \gamma\) los rayos. Las ondas de materia son una característica destacada de la física cuántica. Todas estas manifestaciones de las olas exhiben las mismas características generales del movimiento de las olas.

El movimiento de las olas ocurre para cuerpos deformables donde las fuerzas elásticas que actúan entre los átomos vecinos más cercanos del cuerpo ejercen fuerzas dependientes del tiempo entre sí. Capítulo\(14\) introducirá los modos colectivos de movimiento, llamados los modos normales, de osciladores lineales acoplados, de muchos cuerpos, que actúan como modos de movimiento independientes. Sin embargo, es útil introducir la emoción de onda en esta coyuntura porque las ecuaciones del movimiento de las olas son simples, y el movimiento de las olas ocupa un lugar destacado en varios capítulos de este libro.

Considere una onda viajera en una dimensión para un sistema lineal. Si la onda se está moviendo, entonces la función de onda\(\Psi\)\((x,t)\) que describe la forma de la onda, es una función de ambos\(x\) y\(t\). La amplitud instantánea de la onda\(\Psi\)\((x,t)\) podría corresponder al desplazamiento transversal de una onda en una cuerda, la amplitud longitudinal de una onda en un resorte, la presión de una onda sonora longitudinal, los campos eléctricos o magnéticos transversales en una onda electromagnética, una onda de materia, etc. Si el tren de olas mantiene su forma a medida que se mueve, entonces se puede describir el tren de olas por la función\(f(\phi)\) donde\(\phi\) se mide la coordenada relativa a la forma de la ola, es decir, podría corresponder a la fase de una cresta de la ola. Considere que\(f(\phi = 0)\) corresponde a una fase constante, por ejemplo, el pico del pulso de desplazamiento, luego suponiendo que la onda viaja a una velocidad de fase\(v\) en la\(x\) dirección y el pico está en\(x = 0\) for\(t = 0\), entonces es en\(x = vt\) el momento\(t\). Es decir, un punto con fase\(\phi\) fija con respecto a la forma de forma de onda del perfil de onda\(f(\phi)\) se mueve en la\(+x\) dirección para\(\phi = x -vt\) y en\(−x\) dirección para\(\phi = x +vt\).

El movimiento general de las olas se puede describir mediante soluciones de una ecuación de onda. La ecuación de onda se puede escribir en términos de las derivadas espaciales y temporales de la función de onda\(\Psi\)\((xt)\). Considera las primeras derivadas parciales de\(\Psi\)\((xt)\) =\(f(x \mp vt) = f(\phi)\).

\[\label{eq:3.90} \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{\partial \Psi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{d \Psi}{d\phi} \]

y

\[\label{eq:3.91} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{d \Psi}{d\phi}\frac{\partial\phi}{\partial t} = \mp v \frac{d\Psi}{d \phi} \]

Factorización\( \frac{d \Psi}{d\phi}\) para los primeros derivados da

\[\label{eq:3.92} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \mp v \frac{\partial \Psi}{\partial x} \]

El signo en esta ecuación depende del signo de la velocidad de onda, por lo que no es una fórmula generalmente útil.

Considerar los segundos derivados

\[ \label{eq:3.93} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{d^2 \Psi}{d \phi^2}\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{d^2 \Psi}{d\phi^2} \]

y

\[\label{eq:3.94} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = \frac{d^2 \Psi}{d \phi^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = +v^2 \frac{d^2 \Psi}{d \phi^2} \]

Factorización\( \frac{d^2 \Psi}{d \phi^2} \) da

\[ \label{eq:3.95} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \]

Esta ecuación de onda en una dimensión para un sistema lineal es independiente del signo de la velocidad. Hay un número infinito de formas posibles de ondas tanto viajando como de pie en una dimensión, todas estas deben satisfacer esta ecuación de onda unidimensional. Lo contrario es que cualquier función que satisfaga esta ecuación de onda unidimensional debe ser una onda en esta dimensión.

La Ecuación de Onda en tres dimensiones es

\[ \label{eq:3.96} \nabla^2 \Psi \equiv \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\]

Hay un número infinito de posibles soluciones\(\Psi\) a esta ecuación de onda, cualquiera de las cuales corresponde a un movimiento de onda con velocidad\(v\).

La Ecuación de Onda es aplicable a todas las manifestaciones del movimiento de las olas, tanto transversales como longitudinales, para sistemas lineales. Es decir, se aplica a ondas en una cuerda, ondas de agua, ondas sísmicas, ondas sonoras, ondas electromagnéticas, ondas de materia, etc. Si se puede demostrar que una ecuación de onda se puede derivar para cualquier sistema, discreto o continuo, entonces esto equivale a probar la existencia de ondas de cualquier forma de onda, frecuencia, o longitud de onda viajando con la velocidad de fase dada por la ecuación de onda. [Cra65]