3.10: Procesamiento de señal
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Se ha demostrado que la respuesta del oscilador lineal amortiguado linealmente, sujeto a cualquier fuerza periódica arbitraria, puede calcularse utilizando una descomposición de frecuencia, (análisis de Fourier), de la fuerza, apéndice\(19.9\). La respuesta puede igualmente bien calcularse usando un muestreo discreto-tiempo ordenado por tiempo de la forma del pulso; es decir, el enfoque de la función de Green, apéndice\(19.9\). El oscilador lineal amortiguado linealmente es el ejemplo más simple de un sistema lineal que exhibe resonancia y respuesta dependiente de la frecuencia. Los sistemas lineales físicos típicos exhiben funciones de respuesta mucho más complicadas con múltiples resonancias y respuesta de frecuencia correspondiente. Por ejemplo, un sistema de suspensión de automóvil involucra cuatro ruedas y resortes asociados más amortiguadores que permiten que el automóvil se bascule lateralmente, o hacia adelante y hacia atrás, además del movimiento ascendente, cuando está sujeto a las fuerzas producidas por una carretera accidentada. De manera similar, un puente colgante o un ala de avión pueden torcerse y doblarse debido a la turbulencia del aire, o un edificio puede sufrir oscilaciones complicadas debido a las ondas sísmicas. Un sistema acústico presenta una complejidad similar. El análisis de señales y el procesamiento de señales son de importancia fundamental para dilucidar la respuesta de sistemas lineales complicados a complicadas funciones de forzamiento periódico. Esto se usa ampliamente en ingeniería, acústica y ciencia.
La respuesta de un filtro de paso bajo, como un circuito R-C o un cable coaxial, a una onda cuadrada de entrada, mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\), proporciona un ejemplo simple de las ventajas relativas de usar el análisis complementario de Fourier en el dominio de la frecuencia, o el análisis de función discreta del Green en el dominio del tiempo. La respuesta de una señal repetitiva de entrada de onda cuadrada se muestra en el dominio del tiempo y la transformada de Fourier al dominio de frecuencia. Las curvas medias muestran la dependencia del tiempo para la respuesta del filtro de paso bajo a un impulso\(I(t)\) y la transformada de Fourier\(H(\omega)\). La salida del filtro paso bajo se puede calcular plegando la onda cuadrada de entrada y dependencia del tiempo de impulso en el dominio del tiempo como se muestra a la izquierda o plegando sus transformadas de Fourier mostradas a la derecha. Trabajando en el dominio de la frecuencia, la respuesta de sistemas mecánicos lineales, como una suspensión de automóvil o un instrumento musical, así como los sistemas lineales de procesamiento de señales electrónicas como amplificadores, altavoces y micrófonos, pueden tratarse como cajas negras que tienen una determinada función de transferencia \(H(\omega, \phi)\)describiendo la ganancia y el desplazamiento de fase versus frecuencia. Es decir, la descomposición de frecuencia de onda de salida es
\[G(\omega)_{output} = H(\omega , \phi) \cdot G(\omega)_{input} \label{3.111}\]
Trabajando en el dominio del tiempo, el sistema de paso bajo tiene una respuesta de impulso\(I(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}\), que es la transformada de Fourier de la función de transferencia\(H(\omega , \phi ) \). En el dominio del tiempo
\[y(t)_{output} = \int^{\infty}_{-\infty} x(\tau ) \cdot I(t - \tau) d \tau \label{3.112} \]
Esto se muestra esquemáticamente en la Figura\(\PageIndex{1}\). La transformación de Fourier conecta las tres cantidades en el dominio del tiempo con las tres correspondientes en el dominio de frecuencia. Por ejemplo, la respuesta de impulso del filtro de paso bajo tiene un tiempo de caída del\(\tau\) cual está relacionado por una transformada de Fourier con el ancho de la función de transferencia. Por lo tanto, los enfoques de dominio de tiempo y frecuencia están estrechamente relacionados y dan el mismo resultado para la señal de salida para el filtro de paso bajo a la señal de entrada de onda cuadrada aplicada. El resultado es que los componentes de mayor frecuencia se atenúan, lo que lleva a tiempos de subida y caída lentos en el dominio del tiempo.
El procesamiento de señales analógicas y el análisis de Fourier fueron las principales herramientas para analizar y procesar todas las formas de movimiento periódico durante el\(^{th}\) siglo XX. Por ejemplo, instrumentos musicales, sistemas mecánicos, circuitos electrónicos, todos emplearon sistemas resonantes para mejorar las frecuencias deseadas y suprimir las frecuencias indeseables y las señales se observaron usando osciloscopios analógicos. El notable desarrollo de la computación ha permitido el uso del procesamiento digital de señales, lo que ha llevado a una revolución en el procesamiento de señales que ha tenido un profundo impacto tanto en la ciencia como en la ingeniería. Por ejemplo, el osciloscopio digital, que puede muestrear a frecuencias superiores,\(10^9\)\(Hz\) ha reemplazado al osciloscopio analógico porque permite un análisis sofisticado de cada señal individual que no fue posible mediante el procesamiento de señales analógicas. Por ejemplo, el enfoque analógico en física nuclear involucró diminutas señales eléctricas analógicas, producidas por muchos detectores de radiación individuales, que se transmitieron cientos de metros a través de cables coaxiales cuidadosamente blindados y costosos a la sala de datos donde se amplificaron las señales y se procesaron usando filtros analógicos para maximizar la señal a ruido con el fin de separar la señal del ruido de fondo. La radiación electromagnética parásita captada a través de los cables degradó significativamente las señales. El rendimiento y las limitaciones de la electrónica analógica restringieron severamente las capacidades de procesamiento de pulsos. El procesamiento de señal digital ha reemplazado rápidamente el procesamiento de señales analógicas. Los circuitos detectores analógicos a digitales están integrados directamente en la electrónica de cada detector individual, de modo que solo se necesita transmitir información digital desde cada detector a las computadoras de análisis. El procesamiento informático proporciona capacidades de procesamiento ilimitadas y flexibles para las señales digitales, lo que mejora enormemente la respuesta y la sensibilidad de nuestros sistemas detectores. Ejemplos comunes de procesamiento de señales digitales son discos CD y DVD digitales.
