3.11: Propagación de Ondas

El movimiento de las olas normalmente implica un paquete de ondas que abarca un número finito de ciclos de onda. La información en una onda solo se puede transmitir iniciando, deteniendo o modulando la amplitud de un tren de ondas, lo que equivale a formar un paquete de ondas. Por ejemplo, un músico tocará una nota por un tiempo finito, y este tren de olas se propaga como un paquete de ondas de longitud finita. No tiene información sobre la frecuencia y amplitud del sonido antes de que el paquete de ondas le llegue, o después de que el paquete de ondas le haya pasado. La velocidad de las ondículas contenidas dentro del paquete de ondas se denomina velocidad de fase. Para un sistema dispersivo, la velocidad de fase de las ondículas contenidas dentro del paquete de ondas depende de la frecuencia y la forma del paquete de ondas viaja a la velocidad de grupo que generalmente difiere de la velocidad de fase. Si la forma del paquete de ondas depende del tiempo, entonces ni la velocidad de fase, que es la velocidad de las ondículas, ni la velocidad de grupo, que es la velocidad de un punto instantáneo fijado a la forma de la envolvente del paquete de ondas, representan la velocidad real del paquete de ondas general.

Una tercera velocidad de paquete de ondas, la velocidad de la señal, se define como la velocidad del borde de ataque de la distribución de energía, y el contenido de información correspondiente, del paquete de ondas. Para la mayoría de los sistemas lineales, la forma del paquete de ondas no depende del tiempo y entonces las velocidades de grupo y señal son idénticas. Sin embargo, las velocidades de grupo y señal pueden ser muy diferentes para sistemas no lineales como se discute en el capítulo\(4.7\). Tenga en cuenta que incluso cuando la velocidad de fase de las ondas dentro del paquete de ondas viaja más rápido que la velocidad de grupo de la forma, o la velocidad de la señal del contenido de energía de la envolvente del paquete de ondas, la información contenida en un paquete de ondas solo se manifiesta cuando la envolvente del paquete de ondas alcanza el detector y esta energía e información viajan a la velocidad de la señal.

Las ideas modernas de propagación de ondas, incluido el concepto de Hamilton de velocidad grupal, fueron desarrolladas por Lord Rayleigh cuando se aplicaron a la teoría del sonido [Ray1887]. El concepto de velocidad de fase, grupo y señal jugó un papel importante en la discusión de las ondas electromagnéticas, así como en el desarrollo de Broglie del concepto de dualidad onda-partícula y el desarrollo de la mecánica de ondas por Schrödinger.

Velocidades de fase, grupo y señal de paquetes de ondas

Los conceptos de paquetes de ondas, así como sus velocidades de fase, grupo y señal, son de considerable importancia para la propagación de la información y otras manifestaciones del movimiento de las olas en la ciencia y la ingeniería, lo que merece una mayor discusión en esta coyuntura.

Considerar un componente particular\(k, \omega\) de una onda unidimensional,

\[q(x,t) = Ee^{i(kx\pm \omega t)} \label{3.113}\]

El argumento de lo exponencial se llama la fase\(\phi\) de la onda donde

\[\phi \equiv kx - \omega t \label{3.114}\]

Si nos movemos a lo largo del\(x\) eje a una velocidad tal que la fase es constante entonces percibimos una onda estacionaria. La velocidad de esta onda se llama velocidad de fase. Para asegurar una fase constante requerimos que\(\phi\) sea constante o, asumiendo real\(k\) y\(\omega\)

\[\omega dt = k dx \label{3.115}\]

Por lo tanto, la velocidad de fase se define como

\[v_{phase} = \frac{\omega}{k} \label{3.116}\]

La velocidad que hemos utilizado hasta ahora es solo la velocidad de fase de las ondículas individuales a la frecuencia portadora. Si\(k\) o\(\omega\) son complejos entonces uno debe tomar las partes reales para asegurar que la velocidad es real.

Si la velocidad de fase de una onda depende de la longitud de onda, es decir\(v_{phase} (k)\), entonces se dice que el sistema es dispersivo en que la onda se dispersa según la longitud de onda. La ilustración más simple de la dispersión es la refracción de la luz en el prisma de vidrio que conduce a la dispersión de la luz en el espectro de longitudes de onda. La dispersión conduce al desarrollo de paquetes de ondas que viajan a velocidades de grupo y señal que generalmente difieren de la velocidad de fase. Para ilustrar esto, considere dos ondas viajeras de igual amplitud que tienen un número de onda\(k\) y una frecuencia angular ligeramente diferentes\(\omega\). La superposición de estas ondas da

\[\begin{align} q(x, t) & = A ( e^{i[k x-\omega t]} + e^{i[(k+\Delta k) x-(\omega+\Delta \omega) t]} ) \nonumber \\ & = A e^{i [ ( k+\frac{\Delta k}{2} ) x- ( \omega+\frac{\Delta w}{2} ) t ]} \cdot \{e^{-i [\frac{\Delta k}{2} x-\frac{\Delta \omega}{2} t ]} + e^{i [\frac{\Delta k}{2} x-\frac{\Delta \omega}{2} t ]} \} \nonumber \\ & = 2 A e^{i [ ( k+\frac{\Delta k}{2} ) x- ( \omega+\frac{\Delta \omega}{2} ) t ]} \cos [\frac{\Delta k}{2} x-\frac{\Delta \omega}{2} t ] \end{align} \label{3.117}\]

Esto corresponde a una onda con la frecuencia portadora promedio modulada por el término coseno que tiene un número de onda\(\frac{\Delta k}{2}\) y frecuencia angular\(\frac{\Delta \omega}{2}\), es decir, este es el ejemplo habitual de latidos. El término coseno modula la onda promedio que produce paquetes de onda como se muestra en la figura (3.9.1). La velocidad de estos paquetes de ondas se llama la velocidad de grupo dada al requerir que la fase del término modulador sea constante, es decir

\[\frac{\Delta k}{2} dx = \frac{\Delta \omega}{2} dt \label{3.118}\]

Por lo tanto, la velocidad del grupo viene dada por

\[v_{group} = \frac{dx}{dt} = \frac{\Delta \omega}{ \Delta k} \label{3.119}\]

Si la dispersión está presente entonces la velocidad del grupo\(v_{group} = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}\) no es igual a la velocidad de fase\(v_{phase} = \frac{ \omega}{k}\).

Ampliar el ejemplo anterior a superposición de\(n\) olas da

\[q(x,t) = \sum^{n}_{r = 1} A_r e^{i ( k_r x \pm \omega_r t)} \label{3.120}\]

En el caso de que\(n \rightarrow \infty\) y las frecuencias se distribuyan continuamente, entonces la suma es reemplazada por una integral

\[q(x,t) = \int^{\infty}_{-\infty} A(k) e^{i(kx \pm \omega t)} dk \label{3.121}\]

donde el factor\(A (k)\) representa las amplitudes de distribución de las ondas componentes, es decir, la descomposición espectral de la onda. Esta es la descomposición habitual de Fourier de la distribución espacial de la onda.

Considere una extensión de la superposición lineal de dos ondas a un paquete de ondas bien definido donde la amplitud es distinta de cero solo para un pequeño rango de números de onda\(k_0 \pm \Delta k\).

\[q(x,t) = \int^{k_0 + \Delta k}_{k_0−\Delta k} A(k) e^{i(kx - \omega t)} dk \label{3.122}\]

Esta forma funcional se llama paquete de onda que solo tiene significado si\(\Delta k << k_0\). La frecuencia angular se puede expresar haciendo una expansión Taylor alrededor\(k_0\)

\[\omega (k) = \omega (k_0) + \left(\frac{d \omega}{dk} \right)_{k_0} (k − k_0) + \dots \label{3.123}\]

Para un sistema lineal, la fase se reduce a

\[kx − \omega t = (k_0 x − \omega_0 t) + (k − k_0) x − \left( \frac{d\omega}{dk}\right)_{k_0} (k - k_0) t \label{3.124}\]

La suma de términos en el exponente dada por\ ref {3.125} conduce a que la amplitud\ ref {3.123} tenga la forma de un producto donde la integral se convierte

\[q(x,t) = e^{i(k_0 x - \omega_0 t)} \int^{k_0+\Delta k}_{k_0 − \Delta k} A(k) e^{i(k - k_0)[x-(\frac{d\omega}{dk})_{k_0} t]} dk \label{3.125}\]

El término integral modula el\(e^{i(k_0 x - \omega_0 t)}\) primer término.

La velocidad del grupo se define como aquella para la cual la fase del término exponencial en la integral es constante. Así

\[v_{group} = \left(\frac{d\omega}{dk}\right)_{k_0} \label{3.126}\]

Desde\(\omega = kv_{phase}\) entonces

\[v_{group} = v_{phase} + k\frac{\partial v_{phase}}{\partial k} \label{3.127}\]

Para sistemas no dispersivos la velocidad de fase es independiente del número de onda\(k\) o frecuencia angular\(\omega\) y por lo tanto\(v_{group} = v_{phase}\). El caso discutido anteriormente, ecuación (3.9.3), para el latido de dos ondas da la misma relación en el límite que\(\Delta \omega\) y\(\Delta k\) son infinitossimales.

La velocidad de grupo de un paquete de ondas es de importancia física para medios dispersivos donde\(v_{group} = (\frac{d\omega}{dk})_{k_0} \neq \frac{\omega}{k} = v_{phase}\). Cada tren de olas tiene una extensión finita y por lo tanto usualmente observamos el movimiento de un grupo de ondas en lugar de las ondículas que se mueven dentro del paquete de ondas. En general, para sistemas dispersivos no lineales la derivada\(\frac{\partial v_{phase}}{\partial k}\) puede ser positiva o negativa y así en principio la velocidad del grupo puede ser mayor que, o menor que, la velocidad de fase. Además, si la velocidad de grupo depende de la frecuencia, es decir, cuando se produce la dispersión de la velocidad de grupo, entonces la forma general del paquete de ondas depende del tiempo y, por lo tanto, la velocidad de una ubicación relativa específica definida por la forma de la envolvente del paquete de ondas no representa la velocidad de la señal de el paquete de onda. Brillouin mostró que la distribución de la energía, y el contenido de información correspondiente, en cualquier paquete de onda viaja a la velocidad de la señal que puede ser diferente de la velocidad del grupo si la forma de la envolvente del paquete de ondas depende del tiempo. Para las ondas electromagnéticas se tiene la posibilidad de que la velocidad del grupo\(v_{group} > v_{phase} = c\). En 1914 Brillouin [Bri14] [Bri60] mostró que la velocidad de la señal de las ondas electromagnéticas, definida por el borde de ataque de la envolvente dependiente del tiempo del paquete de ondas, nunca excede a\(c\) pesar de que la velocidad de grupo correspondiente a la velocidad de la forma instantánea del paquete de ondas puede exceder \(c\). Por lo tanto, no hay violación del principio fundamental de relatividad de Einstein que la velocidad de una onda electromagnética no puede superar\(c\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Water waves breaking on a beach

Los conceptos de velocidad de fase y grupo se ilustran con el ejemplo de olas de agua que se mueven a velocidad\(v\) incidente sobre una playa recta en ángulo\(\alpha\) con respecto a la costa. Considere que el paquete de ondas comprende muchas longitudes de onda de longitud de onda\(\lambda\). Durante el tiempo que tarda la ola en recorrer una distancia\(\lambda\), el punto donde se rompe la cresta de una ola en la playa recorre una distancia\(\frac{\lambda}{\cos \alpha}\) a lo largo de la playa. Así, la velocidad de fase de la cresta de una ondícula en el paquete de ondas es

\[v_{phase} = \frac{v}{\cos \alpha} \nonumber\]

La velocidad del paquete de olas a lo largo de la playa es igual

\[v_{group} = v \cos \alpha \nonumber\]

Tenga en cuenta que para la ola que se mueve paralela a la playa\(\alpha = 0\) y\(v_{phase} = v_{group} = v\). sin embargo, para\(\alpha = \frac{\pi}{2} v_{phase} \rightarrow \infty\) y\(v_{group} \rightarrow 0\). En general para olas rompiendo en la playa

\[v_{phase}v_{group} = v^2 \nonumber\]

El mismo comportamiento se manifiesta por las ondas superficiales que rebotan en los lados del canal Erie, las ondas sonoras en un trombón y las ondas electromagnéticas transmitidas por una guía de ondas rectangular. En este último caso la velocidad de fase excede la velocidad de la luz\(c\) en aparente violación de la teoría de la relatividad de Einstein. Sin embargo, la información viaja a la velocidad de la señal que es menor que\(c\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Surface waves for deep water

En la “Teoría del Sonido” Rayleigh discute el ejemplo de las ondas superficiales para el agua donde deriva una relación de dispersión para la velocidad de fase\(v_{phase}\) y el número de onda\(k\) que están relacionados con la densidad\(\rho \)\(l\), profundidad\(g\), gravedad y tensión superficial\(T\), por

\[\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho} \tanh (kl) \nonumber\]

Para aguas profundas donde la longitud de onda es corta comparada con la profundidad, es decir\(kl >> 1\), entonces\(\tanh (kl) \rightarrow 1\) y la relación de dispersión está dada aproximadamente por

\[\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho} \nonumber\]

Para ondas superficiales largas para aguas profundas, es decir, pequeñas\(k\), entonces el primer término gravitacional en la relación de dispersión domina y la velocidad del grupo viene dada por

\[v_{group} = \left( \frac{d\omega}{dk} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k}} = \frac{1}{2} \frac{\omega}{k} = \frac{ v_{phase}}{2} \nonumber\]

Es decir, la velocidad del grupo es la mitad de la velocidad de fase. Aquí las ondículas se están construyendo en la parte posterior del paquete de ondas, progresan a través del paquete de ondas y se disipan en la parte delantera. Esto se puede demostrar arrojando un guijarro a un lago tranquilo. Se verá que la perturbación superficial comprende un paquete de ondas que se mueve hacia afuera a la velocidad de grupo con las ondas individuales dentro del paquete de ondas expandiéndose al doble de la velocidad de grupo de la bolsa de ondas, es decir, aparecen en el radio interno del paquete de ondas y desaparecen en el radio exterior del paquete de onda.

Para ondas de longitud de onda pequeñas, donde\(k\) es grande, entonces el término de tensión superficial domina y la relación de dispersión está dada aproximadamente por

\[\omega^2 \simeq \frac{Tk^3}{\rho} \nonumber\]

lo que lleva a una velocidad de grupo de

\[v_{group} = \left( \frac{d\omega}{dk}\right) = \frac{3}{2} v_{phase} \nonumber\]

Aquí la velocidad del grupo excede la velocidad de fase y las ondículas se están construyendo en la parte delantera del paquete de ondas y se disipan en la parte posterior. Tenga en cuenta que para este sistema lineal la velocidad de la señal Brillion es igual a la velocidad de grupo para las ondas de gravedad y de tensión superficial para aguas profundas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Electromagnetic waves in ionosphere

La respuesta a las ondas de radio del plasma de electrones libres en la ionosfera proporciona un excelente ejemplo que involucra la frecuencia de corte, el número de onda complejo\(k\), así como las velocidades de fase, grupo y señal.

Las ecuaciones de Maxwell dan la ecuación de onda más general para que las ondas electromagnéticas sean

\[\nabla^2 \mathbf{E} − \varepsilon \mu \frac{ \partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = \mu \frac{ \partial \mathbf{j}_{free}}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\frac{\rho_{free}}{\varepsilon} \right) \nonumber\]

\[\nabla^2\mathbf{H} − \mu \varepsilon \frac{ \partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} = −\nabla \times \mathbf{j}_{free} \nonumber\]

donde\(\rho_{free}\) y\(\mathbf{j}_{free}\) son las densidades de carga y corriente no ligadas. El efecto de las cargas y corrientes ligadas son absorbidas en\(\varepsilon\) y\(\mu\). La Ley de Ohm se puede escribir en términos de la conductividad eléctrica\(\sigma\) que es una constante

\[\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E} \nonumber\]

Asumiendo la Ley de Ohm más asumiendo\(\rho_{free} = 0\), en el plasma da las relaciones

\[\nabla^2 \mathbf{E} − \varepsilon \mu \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} − \sigma \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0 \nonumber\]

\[\nabla^2 \mathbf{H} − \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} − \sigma \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = 0 \nonumber\]

El tercer término en ambas ecuaciones de onda es un término de amortiguación que conduce a una solución amortiguada de una onda electromagnética en un buen conductor.

La solución de estas ecuaciones de onda amortiguada se puede resolver considerando una onda incidente

\[\mathbf{E} = E_o \mathbf{\hat{x}}e^{i(\omega t− kz)} \nonumber\]

Sustituir\(\mathbf{E}\) en la primera ecuación de onda amortiguada da

\[−k^2 + \omega^2 \varepsilon \mu − i \omega \sigma \mu = 0 \nonumber\]

Eso es

\[k^2 = \omega^2 \varepsilon \mu \left[ 1 − \frac{i\sigma}{\omega \varepsilon} \right] \nonumber\]

En general\(k\) es complejo, es decir, tiene\(k_1\) partes reales\(k_R\) e imaginarias que conducen a una solución de la forma

\[\mathbf{E} = E_o e^{-k_I z} e^{i(\omega t - k_R z)} \nonumber\]

El primer término exponencial es un término de amortiguación exponencial mientras que el segundo término exponencial es el término oscilante.

Considerar que el plasma implica el movimiento de un electrón amortiguado unido, de carga\(q\) de masa\(m\), unido en un átomo o retícula unidimensional sujeto a un campo eléctrico oscilatorio de frecuencia\(\omega\). Supongamos que la onda electromagnética está viajando en la\(\hat{z}\) dirección con el campo eléctrico transversal en la\(\hat{x}\) dirección. La ecuación de movimiento de un electrón puede escribirse como

\[\mathbf{\ddot{x}} + \Gamma \mathbf{\dot{x}} + \omega^2_0 x = \mathbf{\hat{x}} q E_0 e^{i(\omega t − kz)} \nonumber\]

donde\(\Gamma\) está el factor de amortiguación. El desplazamiento instantáneo de la carga oscilante es igual

\[\mathbf{x} = \frac{q}{m} \frac{1}{(\omega^2_0 − \omega^2) + i\Gamma \omega} \mathbf{\hat{x}} E_0 e^{i(\omega t − kz)} \nonumber\]

y la velocidad es

\[\mathbf{\dot{x}} = \frac{q}{m} \frac{i \omega}{(\omega^2_0 − \omega^2) + i\Gamma \omega} \mathbf{\hat{x}} E_0 e^{i(\omega t − kz)} \nonumber\]

Así, la densidad de corriente instantánea viene dada por

\[\mathbf{j} = Nq\mathbf{\dot{x}} = \frac{Nq^2}{m} \frac{i \omega}{(\omega^2_0 − \omega^2) + i\Gamma \omega} \mathbf{\hat{x}} E_0 e^{i(\omega t − kz)} \nonumber\]

por lo tanto, la conductividad eléctrica viene dada por

\[\sigma = \frac{Nq^2}{m} \frac{i \omega}{(\omega^2_0 − \omega^2) + i\Gamma \omega} \nonumber\]

Consideremos únicamente las cargas no ligadas en el plasma, es decir, dejar\(\omega_0 = 0\). Entonces la conductividad viene dada por

\[\sigma = \frac{Nq^2}{m} \frac{i\omega}{i\Gamma \omega - \omega^2} \nonumber\]

Para un plasma ionizado de baja densidad,\(\omega >> \Gamma\) por lo tanto, la conductividad está dada aproximadamente por

\[\sigma \approx −i \frac{Nq^2}{m\omega} \nonumber\]

Ya que\(\sigma\) es puro imaginario, entonces\(\mathbf{j}\) y\(\mathbf{E}\) tener una diferencia de fase de la\(\frac{\pi}{2}\) cual implica que el promedio del calentamiento de Joule a lo largo de un periodo completo es\(\langle \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \rangle = 0\). Por lo tanto, no hay pérdida de energía debido al calentamiento de Joule, lo que implica que la energía electromagnética se conserva.

Sustitución de\(\sigma\) en la relación por\(k^2\)

\[k^2 = \omega^2 \varepsilon \mu \left[ 1 − \frac{i\sigma}{\omega \varepsilon} \right] = \omega^2 \varepsilon \mu \left[ 1 − \frac{Nq^2}{ \varepsilon m\omega^2} \right] \nonumber\]

Definir la frecuencia de oscilación de Plasma\(\omega_P\) para ser

\[\omega_P \equiv \sqrt{\frac{Nq^2}{\varepsilon m}} \nonumber\]

entonces\(k^2\) se puede escribir como

\[k^2 = \omega^2 \varepsilon \mu \left[ 1 − \left(\frac{\omega_P}{\omega}\right)^2 \right] \tag{\(\alpha\)}\]

Para un plasma de baja densidad la constante dieléctrica\(\kappa_E \simeq 1\) y la permeabilidad relativa\(\kappa_B \simeq 1\) y así\(\varepsilon = \kappa_E \varepsilon_0 \simeq \varepsilon_0\) y\(\mu = \kappa_B \mu_0 \simeq \mu_0\). La velocidad de la luz en vacío\(c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\). Por lo tanto, para la ecuación de baja densidad se\(\alpha\) puede escribir como

\[\omega^2 = \omega^2_p + c^2k^2 \tag{\(\beta\)}\]

Diferenciación de la ecuación\(\beta\) con respecto a\(k\) da\(2\omega \frac{d\omega}{dk} = 2c^2 k\). Es decir,\(v_{phase}v_{group} = c^2\) y la velocidad de fase es

\[v_{phase} = \sqrt{c^2 + \frac{\omega^2_p}{k^2}} \nonumber\]

Hay tres casos a considerar.

1)\(\omega > \omega_P\): Para este caso\(\left[ 1 − ( \frac{\omega_P}{\omega})^2\right] > 1\) y así\(k\) es un número real puro. Por lo tanto, la onda electromagnética se transmite con una velocidad de fase que excede\(c\) mientras que la velocidad del grupo es menor que\(c\).

2)\(\omega < \omega_P\): Para este caso\(\left[ 1 − ( \frac{\omega_P}{\omega})^2\right] < 1\) y así\(k\) es un número imaginario puro. Por lo tanto la onda electromagnética no se transmite y en la ionosfera se atenúa rápidamente como\(e^{−( \frac{\omega_P}{c})z}\). Sin embargo, dado que no hay pérdidas de calentamiento por Joule entonces la onda electromagnética debe reflejarse completamente. Así, la frecuencia de oscilación de Plasma sirve como frecuencia de corte. Para este ejemplo las velocidades de señal y de grupo son idénticas.

Para la ionosfera\(N = 10^{−11}\) electrones/\(m^3\), que corresponde a una frecuencia de oscilación de Plasma de\(v = \omega_P / 2\pi = 3\)\(MHz\). Así, las ondas electromagnéticas en la banda de ondas AM (< 1.6\(MHz\)) son totalmente reflejadas por la ionosfera y rebotan repetidamente alrededor de la Tierra, mientras que para frecuencias VHF superiores a 3\(MHz\), las ondas son transmitidas y refractadas pasando por la atmósfera. Así, la luz es transmitida por la ionosfera. Por el contrario, para un buen conductor como la plata, la frecuencia de oscilación del Plasma está alrededor de la\(10^{16}\)\(Hz\) cual se encuentra en la parte ultravioleta lejana del espectro. Así, todas las frecuencias más bajas, como la luz, son reflejadas totalmente por un conductor tan bueno, mientras que los rayos X tienen frecuencias por encima de la frecuencia de oscilación del Plasma y se transmiten.

Transformada de Fourier de paquetes de onda

La relación entre la distribución del tiempo y la distribución de frecuencia correspondiente, o de manera equivalente, la distribución espacial y la distribución onda-número correspondiente, son de considerable importancia en la discusión de paquetes de ondas y procesamiento de señales. Se relaciona directamente con el principio de incertidumbre que es una característica de todas las formas de movimiento de las olas. La relación entre el tiempo y la distribución de frecuencia correspondiente se da a través de la transformada de Fourier discutida en el apéndice\(19.9\). Los siguientes son dos ejemplos de las transformaciones de Fourier de formas típicas pero bastante diferentes de paquete de ondas que se encuentran con frecuencia en la ciencia y la ingeniería.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Fourier transform of a Gaussian wave packet

Suponiendo que la amplitud de la onda es un paquete de onda gaussiana que se muestra en la figura adyacente donde

\[G (\omega ) = ce^{− \frac{(\omega −\omega_0)^2}{ 2\sigma^2_{\omega}} }\nonumber\]

Esto lleva a la transformada de Fourier

\[f(t) = c \sqrt{2\pi} \sigma_{\omega} e^{− \frac{\sigma^2_{\omega} t^2}{2}} \cos (\omega_0 t) \nonumber\]

Tenga en cuenta que el paquete de ondas tiene una desviación estándar para la amplitud del paquete de ondas de\(\sigma_t = \frac{1}{\sigma_{\omega}}\), es decir\(\sigma_t \cdot \sigma_{\omega} = 1\). El paquete de ondas gaussianas da como resultado el producto mínimo de las desviaciones estándar de las representaciones de frecuencia y tiempo para un paquete de ondas. Esto tiene una profunda importancia para todos los fenómenos de olas, y especialmente para la mecánica cuántica. Debido a que la materia exhibe un comportamiento similar a una onda, la propiedad anterior del paquete de ondas conduce al Principio de Incertidumbre de Heisenberg. Para el procesamiento de señales, muestra que si trunca un paquete de ondas ampliará la distribución de frecuencia.

Figura\(\PageIndex{1}\): Transformada de Fourier de una distribución de frecuencias gaussianas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Fourier transform of a rectangular wave packet

Supongamos amplitud unitaria de la distribución de frecuencia entre\(\omega_0 − \Delta \omega \leq \omega \leq \omega_0 + \Delta \omega\), es decir, un único pulso cuadrado aislado de ancho\(\tau\) que es descrito por la función rectangular\(\prod\) definida como

\[\prod (\omega ) = \begin{cases} 1 && |\omega − \omega_0| < \Delta \omega \\ 0 && |\omega − \omega_0| > \Delta \omega \end{cases} \nonumber\]

Entonces la transformada de Fourier nos da por

\[f(t) = \left[\frac{\sin \Delta \omega t}{\Delta \omega t} \right] \cos \omega_0 t \nonumber\]

Es decir, la transformación de un paquete de ondas rectangular da una onda coseno modulada por una función sinc no normalizada que es un buen ejemplo de un paquete de onda simple. Es decir, en el lado derecho tenemos una wavepacket\(\Delta t = \pm \frac{2\pi}{\Delta \omega}\) ancha. Tenga en cuenta que el producto de las dos medidas de los anchos\(\Delta \omega \cdot \Delta t = \pm \pi\). Ejemplo\(I.2\) considera un pulso rectangular de amplitud unitaria entre el\(−\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\) cual resultó en una transformada de Fourier\(G (\omega ) = \tau \left( \frac{\sin \frac{\omega \tau}{2}}{\frac{\omega \tau}{2}}\right)\). Es decir, para un pulso de ancho\(\Delta t = \pm \frac{\tau}{2}\) la envolvente de frecuencia tiene el primer cero en\(\Delta \omega = \pm \frac{\pi}{\tau}\). Obsérvese que este es el sistema complementario al considerado aquí el cual tiene\(\Delta \omega \cdot \Delta t = \pm \pi\) ilustrando la simetría de la transformada de Fourier y su inversa.

Principio de incertidumbre de paquetes de ondas

El Principio de Incertidumbre establece que para todos los tipos de movimiento de onda hay un producto mínimo de la incertidumbre en el ancho de un paquete de ondas y el ancho de distribución de la descomposición de frecuencia del paquete de ondas. Esto fue ilustrado por las transformadas de Fourier de paquetes de onda discutidos anteriormente donde se mostró que el producto de las anchuras se minimiza para un paquete de onda de forma gaussiana. El Principio de Incertidumbre implica que para hacer una medición precisa de la frecuencia de una onda sinusoidal se requiere que el paquete de ondas sea infinitamente largo. Si la longitud del paquete de onda se reduce entonces la distribución de frecuencia se amplía. Entonces el aspecto crucial necesario para esta discusión, es que, para las amplitudes de cualquier paquete de ondas, se relacionan las desviaciones estándar\(\sigma (t) = \sqrt{ \langle t^2 \rangle - \langle t \rangle^2}\) que caracterizan el ancho de la distribución espectral en el dominio de frecuencia angular\(\sigma_A (\omega )\), y el ancho en el tiempo\(\sigma_A (t)\):

\[\sigma_A (t) \cdot \sigma_A (\omega ) \geqslant 1 \tag{Relation between amplitude uncertainties.} \]

Este producto de las desviaciones estándar equivale a la unidad solo para el caso especial de distribuciones espectrales de forma gaussiana, y es mayor que la unidad para todas las demás distribuciones espectrales conformadas.

La intensidad de la onda es el cuadrado de la amplitud que conduce a anchuras de desviación estándar para una distribución gaussiana donde\(\sigma_I (t)^2 = \frac{1}{2} \sigma_A (t)^2\), es decir,\(\sigma_I (t) = \frac{\sigma_A (t)}{\sqrt{2}}\). Así, las desviaciones estándar para la distribución espectral y el ancho de la intensidad del paquete de ondas están relacionadas por:

\[\sigma_I (t) \cdot \sigma_I (\omega ) \geqslant \frac{1}{2} \tag{Uncertainty principle for frequency-time intensities}\]

Esto establece que las incertidumbres con las que se puede medir simultáneamente el tiempo y la frecuencia para la intensidad de un paquete de ondas dado están relacionadas. Si intenta medir la frecuencia dentro de un intervalo de tiempo corto\(\sigma_I (t)\) entonces la incertidumbre en la medición de frecuencia\(\sigma_I (\omega ) \geqslant \frac{1}{2\sigma_I (t)}\). La medición precisa de la frecuencia requiere tiempos de medición que abarcan muchos ciclos de oscilación, es decir, un paquete de ondas largo.

Exactamente las mismas relaciones existen entre la distribución espectral en función del número de onda\(k_x\) y la dependencia espacial de una onda\(x\) que son representaciones conjugadas. Así, la distribución espectral trazada versus\(k_x\) está directamente relacionada con la amplitud en función de la posición\(x\); la distribución espectral versus\(k_y\) está relacionada con la amplitud en función de\(y\); y la distribución\(k_z\) espectral está relacionada con la espacial dependencia de\(z\). Siguiendo los mismos argumentos discutidos anteriormente, la desviación estándar,\(\sigma_I (k_x)\) caracterizando el ancho de la distribución de intensidad espectral de\(k_x\), y la desviación estándar\(\sigma_I (x)\), caracterizando el ancho espacial de la intensidad del paquete de ondas en función de\(x\), están relacionados por el Principio de Incertidumbre para el número de onda de posición. Así, en resumen, el principio de incertidumbre para la intensidad del movimiento de las olas es,

\[\sigma_I (t) \cdot \sigma_I (\omega ) \geqslant \frac{1}{2} \label{3.128} \\ \sigma_I (x) \cdot \sigma_I (k_x) \geqslant \frac{1}{2} \quad \sigma_I (y) \cdot \sigma_I (k_y) \geqslant \frac{1}{2} \quad \sigma_I (z) \cdot \sigma_I (k_z) \geqslant \frac{1}{2} \]

Esto se aplica a todas las formas de movimiento de las olas, ya sean ellas, ondas sonoras, ondas de agua, ondas electromagnéticas u ondas de materia.

Como se discutió en el capítulo\(18\), la transición a la mecánica cuántica implica relacionar las propiedades de la onda de la materia con la energía y el momento de la partícula correspondiente. Es decir, en el caso de las ondas de materia, multiplicar ambos lados de la Ecuación\ ref {3.128} por\(\hbar\) y usando las relaciones de Broglie da que la energía de las partículas se relaciona con la frecuencia angular por\(E = \hbar \omega\) y el momento de la partícula se relaciona con el número de onda, es decir\(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\). Estos conducen al principio de incertidumbre de Heisenberg:

\[\sigma_I (t) \cdot \sigma_I (E) \geqslant \frac{\hbar}{2} \label{3.129} \\ \sigma_I (x) \cdot \sigma_I (p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \sigma_I (y) \cdot \sigma_I (p_y) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \sigma_I (z) \cdot \sigma_I (p_z) \geqslant \frac{\hbar}{2} \]

Este principio de incertidumbre se aplica igualmente a la función de onda del electrón en el átomo de hidrógeno, protón en un núcleo, así como a un paquete de ondas que describe una onda de partícula que se mueve a lo largo de alguna trayectoria. Así, esto implica que, para una partícula de impulso dado, la función de onda se extiende espacialmente. La constante de Planck\(\hbar = 1.05410^{−34} J \cdot s = 6.58210^{−16} eV \cdot s\) es extremadamente pequeña comparada con las energías y tiempos encontrados en la vida normal, y así los efectos debidos al Principio de Incertidumbre no se manifiestan para las dimensiones macroscópicas.

El confinamiento de una partícula, de masa\(m\), dentro\(\pm \sigma (x)\) de una ubicación fija implica que existe una incertidumbre correspondiente en el impulso

\[\sigma (p_x) \geq \frac{\hbar}{2\sigma (x)} \label{3.130}\]

Ahora la varianza en el impulso\(\mathbf{p}\) viene dada por la diferencia en el promedio del cuadrado\(\left\langle( \mathbf{p} \cdot \mathbf{p})^2 \right\rangle\), y el cuadrado del promedio de\(\langle \mathbf{p} \rangle^2\). Eso es

\[\sigma (\mathbf{p})^2 = \left\langle (\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})^2 \right\rangle − \langle \mathbf{p} \rangle^2 \label{3.131}\]

Suponiendo que una ubicación promedio fija implica que\(\langle \mathbf{p} \rangle = 0\), entonces

\[\left\langle ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{p})^2 \right\rangle = \sigma (p)^2 \geq \left( \frac{\hbar}{2\sigma (r)} \right)^2 \label{3.132}\]

Dado que la energía cinética viene dada por:

\[\text{Kinetic energy } = \frac{p^2}{2m} \geq \frac{\hbar^2}{8m\sigma (r)^2} \tag{Zero-point energy}\]

Esta energía de punto cero es la energía cinética mínima que\(m\) puede tener una partícula de masa si se limita a una distancia\(\pm \sigma (r)\). Esta energía de punto cero es una consecuencia de la dualidad onda-partícula y la incertidumbre entre el tamaño y el número de onda para cualquier paquete de onda. Es un efecto cuantal en que el límite clásico tiene\(\hbar \rightarrow 0\) para el cual tiene la energía de punto cero\(\rightarrow 0\).

Insertar números para la energía de punto cero da que un electrón confinado al radio del átomo, es decir\(\sigma (x) = 10^{−10}m\), tiene una energía cinética de punto cero de\(\sim 1 \ eV\). Confinando este electrón a\(3 \times 10^{−15}m\), el tamaño de un núcleo, da una energía de punto cero de\(10^9 \ eV (1 \ GeV )\). Confinar un protón al tamaño del núcleo da una energía de punto cero de 0.5\(MeV\). Estos valores son típicos del espaciado nivelado observado en la física atómica y nuclear. Si\(\hbar\) fuera un número grande, entonces una bola de billar confinada a una mesa de billar sería un desenfoque ya que oscilaba con la energía cinética mínima de punto cero. Cuanto menor sea la región espacial en la que se confinó la pelota, mayor sería su energía de punto cero y su impulso lo que la haría vibrar de un lado a otro entre los límites de la región confinada. La vida sería dramáticamente diferente si\(\hbar\) fuera un número grande.

En resumen, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg es un aspecto bien conocido y de importancia crucial de la física cuántica. Lo que es menos conocido, es que el Principio de Incertidumbre existe para todas las formas de movimiento de las olas, es decir, no se restringe a las ondas de materia. Los siguientes tres ejemplos ilustran la aplicación del Principio de Incertidumbre a la acústica, el efecto Mössbauer nuclear y la mecánica cuántica.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Acoustic Wave Packet

Un violinista toca la nota C media (261.625\(Hz\)) con intensidad constante durante precisamente 2 segundos. Utilizando el hecho de que la velocidad del sonido en el aire es 343.2\(m/s\) calcula lo siguiente:

1. La longitud de onda de la onda de sonido en el aire:\(\lambda\) = 343.2/261.625 = 1.312\(m\).
2. La longitud de la bolsa de ondas en el aire: Longitud de la bolsa de ondas = 343.2\(\times\) 2 = 686.4\(m\)
3. El ancho de frecuencia fraccional de la nota: Dado que el paquete de onda tiene una forma de pulso cuadrado de longitud\(\tau = 2s\), entonces la transformada de Fourier es una función sinc que tiene los primeros ceros cuando\(\sin \frac{\omega \tau}{2} = 0\), es decir,\(\Delta \nu = \frac{1}{\tau}\).

Por lo tanto, el ancho fraccional es\(\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{1}{\nu \tau}\) = 0.0019. Obsérvese que para lograr una pureza\(\frac{\Delta \nu}{\nu} = 10^{−6}\) del violinista habría que tocar la nota durante 1.06 horas.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Gravitational Red Shift

El efecto Mössbauer en física nuclear proporciona un paquete de ondas que tiene un ancho fraccional excepcionalmente pequeño en frecuencia. Por ejemplo, el núcleo de\(^{57}\) Fe emite un fotón 14.4\(keV\) deexcitación-energía que corresponde a\(\omega \approx 2 \times 10^{25}\)\(rad/s\) que tiene un tiempo de decaimiento de\(\tau \approx 10^{−7}\)\(s\). Así el ancho fraccionario es\(\frac{\Delta \omega}{\omega} \approx 3 \times 10^{−18}\). En 1959 Pound y Rebka utilizaron esto para probar la teoría general de la relatividad de Einstein mediante la medición del desplazamiento gravitacional al rojo entre el ático y el sótano del edificio de\(m\) 22.5 de física de Harvard. La magnitud del desplazamiento relativista predicho al rojo es\(\frac{\Delta E}{E} = 2.5\times 10^{−15}\) que es lo que se observó con una precisión fraccionaria de aproximadamente 1%.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Quantum Baseball

George Gamow, en su libro “Mr. Tompkins en el país de las maravillas”, describe el extraño mundo que\(\hbar\) existiría si fuera un número grande. A modo de ejemplo, considera que juegas beisbol en un universo donde\(\hbar\) hay un gran número. El lanzador lanza una\(g\) bola 150 20\(m\) al bateador a una velocidad de 40\(m/s\). Para que se lance un golpe, la posición del balón debe lanzarse dentro del\(cm\) radio 30 de la zona de strike, es decir, se requiere que\(\Delta x \leq 0.3\)\(m\). La relación de incertidumbre nos dice que la velocidad transversal de la pelota no puede ser menor que\(\Delta v = \frac{\hbar}{2 m \Delta x}\). El tiempo de vuelo de la pelota del montículo al bateador es\(t = 0.5 \ s\). Debido a la incertidumbre de velocidad transversal,\(\Delta v\), la pelota se desviará\(t \Delta v\) transversalmente de la zona de golpe. Esto tampoco debe exceder el tamaño de la zona de huelga, es decir;

\[t \Delta v = \frac{\hbar t}{2 m \Delta x} \leq 0.3 m \tag{Due to transverse velocity uncertainty}\]

La combinación de estos dos requisitos da

\[\hbar \leq \frac{2m \Delta x^2}{t} = 5.4 \ 10^{−2} J \cdot s. \nonumber\]

Esto es 32 órdenes de magnitud mayor que\(\hbar\) por lo que los efectos cuánticos son insignificantes. No obstante, si se\(\hbar\) rebasara el valor anterior, entonces el lanzador tendría dificultades para lanzar un strike confiable.