3.E: Osciladores Lineales (Ejercicios)

1. Considere un oscilador armónico simple que consiste en una masa\(m\) unida a un resorte de constante de resorte\(k\). Para este oscilador\(x(t) = A \sin(\omega_0 t − \delta )\).

1. Encuentra una expresión para\(\dot{x}(t)\).
2. Eliminar\(t\) entre\(x(t)\) y\(\dot{x}(t)\) para llegar a una ecuación similar a la de una elipse.
3. Reescribir la ecuación en la parte (b) en términos de\(x, \dot{x}, k, m\), y la energía total\(E\).
4. Dar un boceto aproximado del diagrama de espacio de fase (\(\dot{x}\)versus\(x\)) para este oscilador. También, en el mismo conjunto de ejes, esbozar el diagrama de espacio de fase para un oscilador similar con una energía total que es mayor que el primer oscilador.
5. ¿Qué dirección son los caminos que has esbozado? Explica tu respuesta.
6. ¿Alguna vez se cruzarían trayectorias diferentes para el mismo oscilador? ¿Por qué o por qué no?

2. Considere un oscilador accionado amortiguado que consiste en una masa\(m\) unida a un resorte de constante de resorte\(k\).

1. ¿Cuál es la ecuación de movimiento para este sistema?
2. Resolver la ecuación en la parte (a). La solución consta de dos partes, la solución complementaria y la solución particular. ¿Cuándo sería posible descuidar de manera segura una parte de la solución?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la resonancia de amplitud y la resonancia de energía cinética?
4. ¿Cómo podrían buscar los diagramas de espacio de fase para este tipo de oscilador? ¿Qué variables afectarían al diagrama?

3. Una partícula de masa\(m\) está sujeta a la siguiente fuerza\[\mathbf{F} = A(x^3 − 4x^2 + 3x)\mathbf{\hat{x}}\nonumber\] donde\(A\) es una constante.

1. Determinar los puntos cuando la partícula está en equilibrio.
2. ¿Cuál de estos puntos es estable y cuáles son inestables?
3. ¿El movimiento es limitado o no limitado?

4. Una concha cilíndrica muy larga tiene una densidad de masa que depende de la distancia radial tal que\(\rho (r) = \frac{k}{r}\), donde\(k\) es una constante. El radio interior del proyectil es\(a\) y el radio exterior es\(b\).

1. Determinar la dirección y la magnitud del campo gravitacional para todas las regiones del espacio.
2. Si el potencial gravitacional es cero en el origen, ¿cuál es la diferencia entre el potencial gravitacional en\(r = b\) y\(r = a\)?

5. Una masa\(m\) está restringida para moverse a lo largo de una cota. Dos resortes idénticos están unidos a la masa, uno a cada lado, y cada resorte a su vez está unido a una pared. Ambos resortes tienen la misma constante de resorte\(k\).

1. Determinar la frecuencia de la oscilación, asumiendo que no hay amortiguación.
2. Ahora considere amortiguar. Se observa que después de\(n\) las oscilaciones, la amplitud de la oscilación ha caído a la mitad de su valor inicial. Encuentra una expresión para la constante de amortiguación.
3. ¿Cuánto tiempo tarda la amplitud en disminuir a una cuarta parte de su valor inicial?

6. Discutir el movimiento de una cuerda continua cuando se arranca a un tercio de la longitud de la cuerda. Es decir, la condición inicial es\(\ddot{q} (x,0) = 0\), y\(q(x,0) = \left. \begin{cases} \frac{3A}{L} x, & 0 \leq x \leq \frac{L}{3} \\ \frac{3A}{2L} (L-x), & \frac{L}{3} \leq x \leq L \end{cases} \right\} \)

7. Cuando se aplica una fuerza motriz particular a una cuerda estirada se observa que la cuerda vibra puramente de la\(n^{th}\) armónica. Encuentra la fuerza impulsora.

8. Considere el sistema de dos masas pivotado en su vértice donde\(M \neq m\). Sucede oscilaciones del ángulo\(\theta\) con respecto a la vertical en el plano del triángulo.

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Determinar la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones.
2. Utilice su resultado de la parte (a) para mostrar\(\omega 2 \approx \frac{g}{l}\) para\(M \gg m\).
3. Demuestre que su resultado de la parte (a) concuerda con\(\omega^2 = \frac{U^{\prime \prime} (\theta_e)}{I}\) dónde\(\theta_e\) está el ángulo de equilibrio y\(I\) es el momento de inercia.
4. Supongamos que el sistema tiene energía\(E\). Configurar una integral que determine el período de oscilación.

9. Un péndulo inusual se hace fijando una cuerda a un cilindro horizontal de radio\(R\), envolviendo la cuerda varias veces alrededor del cilindro y luego atando una masa\(m\) al extremo suelto. En equilibrio la masa cuelga una distancia\(l_0\) verticalmente por debajo del borde del cilindro. Encuentra la energía potencial si el péndulo ha oscilado a un ángulo\(\phi\) desde la vertical. Demuestre que para ángulos pequeños, se puede escribir en la forma de Ley de Hooke\(U = \frac{1}{2} k\phi^2\). Comentario del valor de\(k\).

10. Considere el oscilador anisotrópico bidimensional con movimiento con\(\omega_x = p\omega\) y\(\omega_y = q\omega\).

1. Demostrar que si la relación de las frecuencias es racional (es decir,\(\frac{\omega_x}{\omega_y} = \frac{p}{q}\) dónde\(p\) y\(q\) son enteros) entonces el movimiento es periódico. ¿Cuál es el periodo?
2. Demostrar que si la misma proporción es irracional, el movimiento nunca se repite.

11. Un péndulo simple consiste en una masa\(m\) suspendida de un punto fijo por una varilla de longitud sin peso y sin extensión\(l\).

1. Obtener la ecuación de movimiento, y en la aproximación\(\sin \theta \approx \theta\), mostrar que la frecuencia natural es\(\omega_0 = \sqrt{\frac{q}{l}}\), donde\(g\) está la intensidad del campo gravitacional.
2. Discutir el movimiento en caso de que el movimiento se realice en un medio viscoso con fuerza de retardo\(2m \sqrt{gl} \dot{\theta}\).

12. Derivar la expresión para los caminos del Espacio Estatal del péndulo plano si la energía total es\(E > 2\)\(mgl\). Tenga en cuenta que este es solo el caso de una partícula que se mueve en un potencial periódico\(U(\theta ) = mgl (1− \cos\theta )\). Esboce el diagrama de espacio estatal para ambos\(E> 2\)\(mgl\) y\(E< 2\)\(mgl\).

13. Considere el movimiento de un oscilador armónico accionado linealmente amortiguado después de que la solución transitoria se haya extinguido, y supongamos que se está impulsando cerca de la resonancia,\(\omega = \omega_o\).

1. Demostrar que la energía total del oscilador es\(E = \frac{1}{2} m\omega^2 A^2\).
2. Demostrar que la energía\(\Delta E_{dis}\) disipada durante un ciclo por la fuerza de amortiguación\(\Gamma \dot{x}\) es\(\pi \Gamma m \omega A^2\)

14. Dos masas\(\text{m}_1\) y se\(\text{m}_2\) deslizan libremente sobre un riel horizontal sin fricción y están conectadas por un resorte cuya constante de fuerza es k. Encuentra la frecuencia de movimiento oscilatorio para este sistema.

15. Una partícula de masa\(m\) se mueve bajo la influencia de una fuerza resistiva proporcional a la velocidad y un potencial\(U\), es decir\(l\). \[F (x, \dot{x}) = -b\dot{x} - \frac{\partial U}{\partial x} \nonumber\]dónde\(b > 0\) y\(U(x) = (x^2 - a^2)^2\)

1. Encuentra los puntos de equilibrio estable e inestable.
2. Encuentra la solución de las ecuaciones de movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de los puntos de equilibrio estables
3. Mostrar que a medida que\(t \rightarrow \infty\) la partícula se acerca a uno de los puntos de equilibrio estables para la mayoría de las elecciones de condiciones iniciales. ¿Cuáles son las excepciones? (Pista: Se puede probar esto sin encontrar las soluciones explícitamente.)