3.S: Osciladores Lineales (Resumen)
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Los sistemas lineales tienen la característica de que las soluciones obedecen al Principio de Superposición, es decir, las amplitudes se suman linealmente para la superposición de diferentes modos oscilatorios. La aplicabilidad del Principio de Superposición a un sistema proporciona una tremenda ventaja para manejar y resolver las ecuaciones de movimiento de sistemas oscilatorios.
Las representaciones geométricas del movimiento de los sistemas dinámicos proporcionan sondas sensibles de movimiento periódico. El espacio de configuración\((\mathbf{q}, \mathbf{q}, t)\), el espacio de estado\((\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) y el espacio de fase\((\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\), son poderosas representaciones geométricas que se utilizan ampliamente para reconocer el movimiento periódico donde\(\mathbf{q}\)\(\mathbf{\dot{q}}\), y\(\mathbf{p}\) son vectores en el espacio\(n\) -dimensional.
Oscilador lineal libre amortiguado linealmente
El oscilador lineal libre amortiguado linealmente se caracteriza por la ecuación
\[\ddot{x} + \Gamma \dot{x} + \omega^2_0 x = 0 \label{3.26}\]
Las soluciones del oscilador lineal libre amortiguado linealmente son de la forma
\[\begin{array}{lcl} z = e^{−\left( \frac{\Gamma}{2} \right)t} \left[ z_1 e^{i\omega_1 t} + z_2 e^{−i \omega_1 t} \right] && \omega_1 \equiv \sqrt{\omega^2_o − \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^2} \end{array} \label{3.33}\]
Las soluciones se agrupan en tres categorías
| \(x(t) = Ae^{−\left( \frac{\Gamma}{2} \right)t} \cos (\omega_1 t − \beta )\) | underdamped | \(\omega_1 = \sqrt{\omega^2_o − \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^2} > 0\) |
| \(x(t) = [A_1e^{−\omega_+ t} + A_2e^{−\omega_−t} ] \) | sobreamortiguado | \(\omega_{\pm} = − \left[ −\frac{\Gamma}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\Gamma}{2} \right)^2 − \omega^2_o } \right]\) |
| \( x(t) = (A + Bt) e^{−\left( \frac{\Gamma}{2} \right)t}\) | amortiguado críticamente | \(\omega_1 = \sqrt{\omega^2_o − \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^2} = 0\) |
La disipación de energía para el tiempo del oscilador lineal libre amortiguado linealmente promediado en un período viene dada por
\[\langle E \rangle = E_0 e^{−\Gamma t} \label{3.44}\]
El factor de calidad\(Q\) que caracteriza la amortiguación del oscilador libre se define como
\[Q = \frac{E}{\Delta E} = \frac{\omega_1}{\Gamma} \label{3.47}\]
donde\(\Delta E\) se disipa la energía por radián.
Oscilador lineal accionado sinusoidalmente, amortiguado linealmente
El oscilador lineal amortiguado linealmente, impulsado por una fuerza impulsora armónica, es de considerable importancia para todas las ramas de la física y la ingeniería. La ecuación del movimiento se puede escribir como
\[\ddot{x} + \Gamma \dot{x} + \omega^2_0 x = \frac{F (t)}{m} \label{3.49}\]
donde\(F(t)\) está la fuerza impulsora. La solución completa de esta ecuación diferencial de segundo orden comprende dos componentes, la solución complementaria (respuesta transitoria) y la solución particular (respuesta de estado estacionario). Es decir,
\[x(t)_{Total} = x(t)_T + x(t)_S \label{3.65}\]
Para el caso subamortiguado, la solución transitoria es la solución complementaria
\[x(t)_T = \frac{F_0}{m} e^{− \frac{\Gamma}{2} t} \cos (\omega_1t − \delta ) \label{3.66}\]
y la solución de estado estacionario viene dada por la solución particular
\[x(t)_S = \frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{ (\omega^2_0 − \omega^2)^2 + (\Gamma \omega )^2}} \cos (\omega t − \delta ) \label{3.67}\]
Resonancia
Se dio una discusión detallada de la resonancia y absorción de energía para el oscilador lineal accionado linealmente amortiguado. Para la resonancia las amplitudes máximas ocurren a frecuencias
| Sistema resonante | Frecuencia resonante |
| oscilador lineal libre sin amortiguar | \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) |
| oscilador lineal libre amortiguado linealmente | \(\omega_1 = \sqrt{\omega^2_0 − \left(\frac{\Gamma}{2}\right)^2}\) |
| oscilador lineal accionado linealmente amortiguado | \(\omega_R = \sqrt{\omega^2_0 − 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^2}\) |
La absorción de energía para la solución de estado estacionario para resonancia viene dada por
\[x(t)_S = A_{el} \cos \omega t + A_{abs} \sin \omega t \label{3.73}\]
donde la amplitud elástica
\[A_{el} = \frac{\frac{F_0}{m}}{(\omega^2_0 − \omega^2)^2 + (\Gamma \omega )^2} (\omega^2_0 − \omega^2) \label{3.74}\]
mientras que la amplitud de absorción
\[A_{abs} = \frac{\frac{F_0}{m}}{(\omega^2_0 − \omega^2)^2 + (\Gamma \omega )^2} \Gamma \omega \label{3.75}\]
La entrada de potencia promedio de tiempo viene dada por solo el término de absorción
\[\langle P \rangle = \frac{1}{2} F_0 \omega A_{abs} = \frac{F_0^2}{2m} \frac{\Gamma \omega^2}{(\omega^2_0 − \omega^2)^2 + (\Gamma \omega )^2} \label{3.133}\]
Esta curva de potencia tiene la forma clásica lorentziana.
Propagación de olas
Se introdujo la ecuación de onda y se discutieron las soluciones de onda itinerante y estacionaria de la ecuación de onda. El análisis armónico de forma de onda y las técnicas complementarias de análisis de forma de onda muestreada en el tiempo se introdujeron en este capítulo y en el apéndice\(19.9\). Se ilustraron los méritos relativos del análisis de Fourier y el análisis de forma de onda de la función digital Green para el procesamiento de señales.
Se introdujeron los conceptos de velocidad de fase, velocidad de grupo y velocidad de la señal. La velocidad de fase viene dada por
\[v_{phase} = \frac{\omega}{k} \label{3.117}\]
y velocidad de grupo
\[v_{group} = \left( \frac{d\omega}{dk} \right)_{k_0} = v_{phase} + k \frac{\partial v_{phase}}{\partial k} \label{3.128}\]
Si la velocidad del grupo depende de la frecuencia, entonces el contenido de información de un paquete de ondas viaja a la velocidad de la señal que puede diferir de la velocidad del grupo.
El Principio de Incertidumbre Onda-paquete implica que hacer una medición precisa de la frecuencia de una onda sinusoidal requiere que el paquete de onda sea infinitamente largo. La desviación estándar\(\sigma (t) = \sqrt{\langle t^2 \rangle − \langle t \rangle^2}\) que caracteriza el ancho de la amplitud de la distribución espectral del paquete de ondas en el dominio de frecuencia angular\(\sigma_A(\omega )\), y el ancho correspondiente en el tiempo\(\sigma_A(t)\), se relacionan por:
\[\sigma_A(t) \cdot \sigma_A (\omega ) \geqslant 1 \tag{Relation between amplitude uncertainties.}\]
Las desviaciones estándar para la distribución espectral y el ancho de la intensidad del paquete de ondas están relacionadas por:
\[\sigma_I (t) \cdot \sigma_I (\omega) \geqslant \frac{1}{2} \label{3.134} \\ \sigma_I (x) \cdot \sigma_I (k_x) \geqslant \frac{1}{2} \quad \sigma_I (y) \cdot \sigma_I (k_y) \geqslant \frac{1}{2} \quad \sigma_I (z) \cdot \sigma_I (k_z) \geqslant \frac{1}{2} \]
Esto se aplica a todas las formas de movimiento de las olas, incluidas las ondas sonoras, las ondas de agua, las ondas electromagnéticas u ondas de materia.