4.E: Sistemas no lineales y caos (Ejercicios)

1. Considere el movimiento caótico del péndulo amortiguado impulsado cuya ecuación de movimiento viene dada por

   \[{\small \ }\ddot{\phi}+\Gamma \dot{\phi}+\omega _{0}^{2}\sin \phi =\gamma \omega _{0}^{2}\cos \omega t \nonumber\]

   para lo cual el exponente Lyapunov es\(\lambda =1\) con el tiempo medido en unidades del periodo de impulsión.

   1. Suponga que necesita predecir\(\phi \left( t\right)\) con precisión de\(\ 10^{-2}\)\(radians\), y que\(\phi \left( 0\right)\) se conoce el valor inicial dentro\(10^{-6}\)\(radians\). ¿Cuál es el horizonte de tiempo máximo\(t_{\max }\) para el que se puede\(\phi \left( t\right)\) predecir dentro de la precisión requerida?
   2. Supongamos que logras mejorar la precisión del valor inicial a\(10^{-9}\)\(radians\) (es decir, una mejora mil veces). ¿Cuál es el horizonte temporal ahora para lograr la precisión de\(10^{-2}\)\(radians\)?
   3. Por qué factor ha\(t_{\max }\) mejorado con la\( 1000-fold\) mejora en la medición inicial.
   4. ¿Qué implica esto con respecto a las predicciones a largo plazo del movimiento caótico?
2. Un oscilador no lineal satisface la ecuación\(\ddot{x}+\dot{ x}^{3}+x=0.\) Encuentra las ecuaciones polares para el movimiento en el diagrama estado-espacio. Mostrar que cualquier trayectoria que comience dentro del círculo\(r<1\) circunda el origen infinitamente muchas veces en el sentido de las agujas del reloj. Mostrar además que estas trayectorias en el espacio estatal terminan en el origen.
3. Considera el sistema de una masa suspendida entre dos muelles idénticos como se muestra.

   

   Figura\(\PageIndex{1}\)

   
   Si cada resorte se estira una distancia\(d\) para unir la masa en la posición de equilibrio, la masa está sujeta a dos fuerzas de magnitud iguales y opuestas\(\kappa d\). Ignorar la gravedad. Demostrar que el potencial en el que se mueve la masa es aproximadamente

   \[U(x)=\left\{ \frac{\kappa d}{l}\right\} x^{2}+\left\{ \frac{\kappa (l-d)}{ 4l^{3}}\right\} x^{4}\]

   Construir un diagrama estado-espacio para este potencial.

4. Un oscilador no lineal satisface la ecuación

   \[\ddot{x} + (x^{2}+\dot{x}^{2}-1) \dot{x} + x = 0 \nonumber\]

   Encuentra las ecuaciones polares para el movimiento en el diagrama estado-espacio. Demostrar que cualquier trayectoria que comience en el dominio se\(1<r<\sqrt{3}\) espiraliza en sentido horario y tiende al ciclo límite\(r=1\). [Lo mismo ocurre con las trayectorias que inician en el dominio\(0<r<1\).] ¿Cuál es el periodo del ciclo límite?

5. Una masa\(m\) se mueve en una dirección y está sujeta a una fuerza constante\(+F_{0}\) cuando\(x<0\) y a una fuerza constante\(-F_{0}\) cuando\(x>0\). Describir el movimiento mediante la construcción de un diagrama de espacio de estado. Calcular el periodo del movimiento en términos de\(m,F_{0}\) y la amplitud\(A\). No tenga en cuenta la amortiguación.
6. Investigar el movimiento de una masa no amortiguada sujeta a una fuerza de la forma\[F(x)= ( \begin{array}{c} -kx\hspace{1.2in}\left\vert x\right\vert <a \\ -(k+\delta )x+\delta a\hspace{0.55in}\left\vert x\right\vert >a \end{array} \nonumber\]