4.S: Sistemas no lineales y caos (Resumen)

El estudio de la dinámica de los sistemas no lineales sigue siendo un campo vibrante y en rápida evolución en la mecánica clásica, así como en muchas otras ramas de la ciencia. En este capítulo se han discutido ejemplos de sistemas no lineales en mecánica clásica. Se demostró que el principio de superposición se rompe incluso por una débil no linealidad. Se demostró que el aumento de la no linealidad conduce a bifurcación, atractores puntuales, atractores de ciclo límite y sensibilidad a las condiciones iniciales.

Atractores de ciclo límite

El teorema de Poincaré-Bendixson para los atractores de ciclo límite establece que los caminos, tanto en estado-espacio como en fase-espacio, pueden tener tres caminos posibles:

1. trayectorias cerradas, como las trayectorias elípticas para el oscilador armónico no amortiguado,
2. terminar en un punto de equilibrio como\(t\rightarrow \infty\), como el atractor puntual para un oscilador armónico amortiguado,
3. tienden a un ciclo límite como\(t\rightarrow \infty\).

El ciclo límite es inusual ya que el movimiento periódico tiende asintóticamente al atractor de ciclo límite independientemente de si los valores iniciales están dentro o fuera del ciclo límite. El equilibrio de las fuerzas disipativas y las fuerzas impulsoras a menudo conduce a atractores de ciclo limitado, especialmente en aplicaciones biológicas. La identificación de atractores de ciclo límite, así como las trayectorias del movimiento hacia estos atractores de ciclo límite, es más complicada que para los atractores puntuales.

El oscilador van der Pol es un ejemplo común de un sistema de ciclo límite que tiene una ecuación de movimiento de la forma\[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\mu \left( x^{2}-1\right) \frac{dx}{dt}+\omega _{0}^{2}x=0 \label{4.11}\]

El oscilador van der Pol tiene un atractor de ciclo límite que incluye amortiguación no lineal y exhibe soluciones periódicas que se acercan asintóticamente a una solución atrayente independiente de las condiciones iniciales. Hay muchos ejemplos en la naturaleza que exhiben un comportamiento similar.

Péndulo plano accionado armónicamente, amortiguado linealmente

La no linealidad del conocido péndulo plano accionado linealmente amortiguado se utilizó como ejemplo del comportamiento de los sistemas no lineales en la naturaleza. Se demostró que la no linealidad conduce a bifurcación de período discontinuo, sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, movimiento rodante y caos.

Diferenciación entre movimiento ordenado y caótico

Se utilizaron exponentes de Lyapunov, diagramas de bifurcación y secciones de Poincaré para identificar la transición del orden al caos. El capítulo\(16.8\) discute las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes del flujo viscoso-fluido que conduce a complicadas transiciones entre flujo laminar y turbulento. El flujo de fluido presenta una complejidad notable que ilustra muy bien el papel dominante que la no linealidad puede tener en las soluciones de sistemas prácticos no lineales en la mecánica clásica.

Propagación de ondas para sistemas no lineales

Las ecuaciones no lineales pueden conducir a un comportamiento inesperado para la propagación de paquetes de ondas, como la luz rápida o lenta, así como las soluciones de solitones. Además, es notable que algunos sistemas no lineales pueden conducir a soluciones analíticas.

Los complicados fenómenos exhibidos por los sistemas no lineales anteriores no se restringen a la mecánica clásica, sino que son una manifestación del comportamiento matemático de las soluciones de las ecuaciones diferenciales involucradas. Es decir, este comportamiento es una manifestación general del comportamiento de soluciones para ecuaciones diferenciales de segundo orden. La exploración de este complejo movimiento solo se ha vuelto factible con la llegada de potentes instalaciones informáticas durante las últimas tres décadas. La amplitud de fenómenos exhibidos por estos ejemplos se manifiesta en otros sistemas no lineales, que van desde el movimiento de muchos cuerpos, patrones climáticos, crecimiento de especies biológicas, epidemias, movimiento de electrones en átomos, etc. Otros ejemplos de ecuaciones no lineales de movimiento no discutidas aquí, son el problema de los tres cuerpos, que se menciona en el capítulo\(11\), y la turbulencia en el flujo de fluido que se discute en el capítulo\(16\).

Se destaca que el comportamiento discutido en este capítulo es muy diferente del problema de la caminata aleatoria que es un proceso estocástico donde cada paso es puramente aleatorio y no determinista. Este capítulo ha supuesto que el movimiento es totalmente determinista y sigue rigurosamente las leyes de la mecánica clásica. A pesar de que el movimiento es totalmente determinista, y sigue las leyes de la mecánica clásica, el movimiento es extremadamente sensible a las condiciones iniciales y las no linealidades pueden conducir al caos. El modelado por computadora es el único enfoque viable para predecir el comportamiento de tales sistemas no lineales. La complejidad de resolver ecuaciones no lineales es la razón por la que este libro seguirá considerando únicamente sistemas lineales. Afortunadamente, en la naturaleza, los sistemas no lineales pueden ser aproximadamente lineales cuando es aplicable la suposición de pequeña amplitud.