5.4: Selección de la Variable Independiente

Se puede elegir una amplia selección de variables como la variable independiente para el cálculo variacional. La derivación de la ecuación de Euler y el ejemplo (\(5.3.1\)) asumieron que la variable independiente es\(x,\) mientras que example (\(5.3.2\)) se usa\(y\) como variable independiente, example (\(5.3.3\)) utilizada\(z\), y la mecánica de Lagrange usa el tiempo\(t\) como variable independiente. La selección de qué variable usar como variable independiente no cambia la física de un problema, pero algunas selecciones pueden simplificar las matemáticas para obtener una solución analítica. El siguiente ejemplo de una superficie de burbuja de jabón cilíndrico-simétrica formada al soplar una burbuja de jabón que se extiende entre dos aros circulares, ilustra la importancia a la hora de seleccionar la variable independiente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Surface area of a cylindrically-symmetric soap bubble

Considera una superficie de burbuja de jabón cilíndrico-simétrica formada soplando una burbuja de jabón que se estira entre dos aros circulares. La energía superficial, que resulta de la tensión superficial de la burbuja de jabón, se minimiza cuando se minimiza el área superficial de la burbuja. Supongamos que los ejes de los dos aros se encuentran a lo largo del\(z\) eje como se muestra en la figura adyacente. Es intuitivamente obvio que la burbuja de jabón que tiene la superficie mínima que está delimitada por los dos aros tendrá una sección transversal circular que es concéntrica con el eje de simetría, y el radio será menor entre los dos aros. Por lo tanto, la intuición se puede utilizar para simplificar el problema de encontrar la forma del contorno de revolución alrededor del eje de simetría que define la forma de la superficie de superficie mínima. Use coordenadas cilíndricas\((\rho ,\theta ,z)\) y asuma que\(1\) el aro en\(z_{1}\) tiene radio\(\rho _{1}\) y\(2\) el aro en\(z_{2}\) tiene radio\(\rho _{2}\). Considerar los casos en los que cualquiera\(\rho\)\(z\), o, son seleccionados para ser la variable independiente.

Figura\(\PageIndex{1}\): Superficie cilíndrico-simétrica formada por rotación alrededor del\(z\) eje de una burbuja de jabón suspendida entre dos aros idénticos centrados en el\(z\) eje.

El elemento diferencial de longitud de arco del anillo circular en constante\(\theta\) entre\(z\) y\(z+dz\) está dado por\(ds=\sqrt{dz^{2}+d\rho ^{2}}\). Por lo tanto, el área del anillo circular infinitossimal es la\(dS=2\pi \rho ds\) que se puede integrar para dar el área de la superficie\(S\) de la burbuja de jabón delimitada por los dos aros circulares como\[S=2\pi \int_{1}^{2}\rho \sqrt{dz^{2}+d\rho ^{2}}\nonumber\]

Variable independiente\(z\)

\[\frac{d}{dz}\left( \frac{\rho \rho ^{\prime }}{\sqrt{1+\left( \rho ^{\prime }\right) ^{2}}}\right) -\sqrt{1+\rho ^{\prime 2}}=0\nonumber\]

Esta no es una ecuación fácil de resolver.

Variable independiente\(\rho\)

\[\rho =a\cosh \frac{z-b}{a}\nonumber\]

que es la ecuación de una catenaria. La catenaria es la forma de un cable flexible uniforme colgado en un campo gravitacional uniforme. Las constantes\(a\) y\(b\) están dadas por los puntos finales. La física de la solución debe ser idéntica para cualquier elección de variable independiente. No obstante, matemáticamente un caso es más fácil de resolver que el otro porque, en este último caso, un término en la ecuación de Euler es cero.