5.3: Aplicaciones de la Ecuación de Euler

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Shortest distance between two points

Considera que el camino se encuentra en el\(\mathit{x-y}\) plano.

Figura\(\PageIndex{1}\): La distancia más corta entre dos puntos en un plano.

La longitud infinitossimal del arco es

\[ds = \sqrt{dx^{2}+dy^{2}} = \left[ \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx}\right) ^{2}}\right] dx\nonumber\]

Entonces la longitud del arco es\[J = \int_{1}^{2}ds = \int_{1}^{2}\left[ \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx}\right) ^{2}} \right] dx\nonumber\]

La función\(f\) es

\[f = \sqrt{1+\left( y^{\prime }\right) ^{2}}\nonumber\]

Por lo tanto

\[\frac{\partial f}{\partial y} = 0\nonumber\]

y

\[\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }} = \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right) ^{2}}}\nonumber\]

Insertar estos en la ecuación de Euler\((5.2.13)\) da

\[0+\frac{d}{dx}\left( \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right) ^{2}}}\right) = 0\nonumber\]

es decir

\[\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right) ^{2}}} = \text{constant} = C\nonumber\]

Esto es válido si

\[y^{\prime } = \frac{C}{\sqrt{1-C^{2}}} = a\nonumber\]

Por lo tanto

\[y = ax+b\nonumber\]

que es la ecuación de una línea recta en el plano. Así, el camino más corto entre dos puntos en un plano es una línea recta entre estos puntos, como es intuitivamente obvio. Este valor estacionario obviamente es mínimo.

Este ejemplo trivial del uso de la ecuación de Euler para determinar un valor extremo ha dado la respuesta obvia. Se ha presentado aquí porque proporciona una prueba de que una línea recta es la distancia más corta en un plano e ilustra la potencia del cálculo de variaciones para determinar caminos extremos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Brachistochrone problem

El problema de Brachistochrone implica encontrar el camino que tenga el tiempo mínimo de tránsito entre dos puntos. El problema de Brachistochrone estimuló el desarrollo del cálculo de variaciones de John Bernoulli y Euler. Por simplicidad, tomemos el caso del movimiento sin fricción en el\(x-y\) plano con un campo gravitacional uniforme que actúa en la\( \widehat{\mathbf{y}}\) dirección, como se muestra en la figura adyacente. La pregunta es qué camino restringido resultará en el tiempo mínimo de tránsito entre dos puntos\((x_{1}y_{1})\) y\((x_{2}y_{2}).\)

Figura\(\PageIndex{2}\): El problema de la bachistocrona consiste en encontrar la ruta para el tiempo mínimo de tránsito para el movimiento restringido sin fricción en un campo gravitacional uniforme.

Considera que la partícula de masa\(m\) comienza en el origen\(x_{1} = 0,y_{1} = 0\) con velocidad cero. Dado que el problema conserva energía y asumiendo que inicialmente\(E = KE+PE = 0\) entonces

\[\frac{1}{2}mv^{2}-mgy = 0\nonumber\]

Eso es\[v = \sqrt{2gy}\nonumber\]

El tiempo de tránsito viene dado por

\[t = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{ds}{v} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\sqrt{ dx^{2}+dy^{2}}}{\sqrt{2gy}} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{\frac{\left( 1+x^{\prime 2}\right) }{2gy}}dy\nonumber\]

donde\(x^{\prime }\equiv \frac{dx}{dy}\). Obsérvese que, en este ejemplo, la variable independiente ha sido elegida para ser\(y\) y la variable dependiente es\(x(y)\).

La función\(f\) de la integral es

\[f = \frac{1}{\sqrt{2g}}\sqrt{\frac{\left( 1+x^{\prime 2}\right) }{y}}\nonumber\]

Facturar el\(\sqrt{2g}\) término constante, que no afecta a la ecuación final, y tenga en cuenta que

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = &0 \\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime }} & = &\frac{x^{\prime }}{\sqrt{y\left( 1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}\right) }}\end{aligned}\nonumber\]

Por lo tanto la ecuación de Euler da

\[0+\frac{d}{dy}\left( \frac{x^{\prime }}{\sqrt{y\left( 1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}\right) }}\right) = 0\nonumber\]

o

\[\frac{x^{\prime }}{\sqrt{y\left( 1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}\right) }} = \text{constant} = \frac{1}{\sqrt{2a}}\nonumber\]

Eso es

\[\frac{x^{\prime 2}}{y\left( 1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}\right) } = \frac{1 }{2a}\nonumber\]

Esto puede ser reescrito como

\[x = \int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{ydy}{\sqrt{2ay-y^{2}}}\nonumber\]

Cambiar la variable a\(y = a(1-\cos \theta )\) da que\( dy = a\sin \theta d\theta ,\) conduce a la integral

\[x = \int a\left( 1-\cos \theta \right) d\theta\nonumber\]

o

\[x = a(\theta -\sin \theta )+\text{constant}\nonumber\]

Las ecuaciones paramétricas para un cicloide que pasa por el origen son

\[\begin{aligned} x & = &a(\theta -\sin \theta ) \\ y & = &a(1-\cos \theta )\end{aligned}\nonumber\]

que es la forma de la solución encontrada. Es decir, el menor tiempo entre dos puntos se obtiene al restringir el movimiento de la masa para que siga una forma cicloide. Así, la masa primero acelera rápidamente al caer de manera pronunciada y luego sigue la curva y las costas ascendentes al final. El tiempo transcurrido se obtiene insertando las relaciones paramétricas anteriores para\(x\) y\(y,\) en términos de\(\theta ,\) dentro de la integral de tiempo de tránsito dando\(t = \sqrt{\frac{a}{g}}\theta\) dónde\( \ a\) y\(\theta\) son fijadas por las coordenadas del punto final. Así, el tiempo para caer desde el inicio con velocidad cero en la cúspide hasta el mínimo del cicloide es\(\pi \sqrt{\frac{a}{g}}.\) Si\(y_{2} = y_{1} = 0\) entonces\(x_{2} = 2\pi a\) que define la forma del cicloide y el tiempo mínimo es\(2\pi \sqrt{\frac{a}{g}} = \sqrt{ \frac{2\pi x_{2}}{g}}.\) Si la masa comienza con una velocidad inicial distinta de cero, entonces el punto de partida no está en el cúspide del cicloide, pero a una distancia\(d\) tal que la energía cinética sea igual a la diferencia de energía potencial de la cúspide.

Una aplicación moderna del problema de Brachistochrone es la determinación de la forma óptima de la canaleta de emergencia de baja fricción que los pasajeros deslizan hacia abajo para evacuar una aeronave en llamas. Bernoulli resolvió el problema de la evacuación rápida de una aeronave dos siglos antes del primer vuelo de una aeronave motorizada.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Minimal travel cost

Supongamos que el costo de volar una aeronave en altura\(z\) es\(e^{-\kappa z}\) por unidad de distancia de trayectoria de vuelo, donde\( \kappa\) es una constante positiva. Considera que la aeronave vuela en el\((x,z)\) avión desde el punto\((-a,0)\) hasta el punto\((a,0)\) donde\(z = 0\) corresponde al nivel del suelo, y donde el\(z\) eje apunta verticalmente hacia arriba. Encuentra lo extremo para el problema de minimizar el costo total del viaje.

El elemento de longitud de arco diferencial de la trayectoria de vuelo se\(ds\) puede escribir como

\[ds = \sqrt{dx^{2}+dz^{2}} = \sqrt{1+z^{\prime 2}}dx\nonumber\]

donde\(z^{\prime }\equiv \frac{dz}{dx}\). Por lo tanto, el costo integral a minimizar es

\[C = \int_{-a}^{+a}e^{-\kappa z}ds = \int_{-a}^{+a}e^{-\kappa z}\sqrt{1+z^{\prime 2}}dx\nonumber\]

La función de esta integral es

\[f = e^{-\kappa z}\sqrt{1+z^{\prime 2}}\nonumber\]

Los diferenciales parciales requeridos para las ecuaciones de Euler son

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }} & = &\frac{z^{\prime \prime }e^{-\kappa z}}{\sqrt{1+z^{\prime 2}}}-\frac{\kappa z^{\prime 2}e^{-\kappa z}}{\sqrt{1+z^{\prime 2}}}-\frac{z^{\prime \prime }z^{\prime 2}e^{-\kappa z}}{\left( 1+z^{\prime 2}\right) ^{3/2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} & = &-\kappa e^{-\kappa z}\sqrt{1+z^{\prime 2}}\end{aligned}\nonumber\]

Por tanto la ecuación de Euler es igual

\[\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }} = -\kappa e^{-\kappa z}\sqrt{1+z^{\prime 2}}-\frac{z^{\prime \prime }e^{-\kappa z}}{\sqrt{1+z^{\prime 2}}}+\frac{\kappa z^{\prime 2}e^{-\kappa z}}{\sqrt{1+z^{\prime 2}}}+\frac{z^{\prime \prime }z^{\prime 2}e^{-\kappa z}}{\left( 1+z^{\prime 2}\right) ^{3/2}} = 0\nonumber\]

Esto se puede simplificar multiplicando el radical para dar

\[-\kappa -2\kappa z^{\prime 2}-\kappa z^{\prime 4}-z^{\prime \prime }-z^{\prime \prime }z^{\prime 2}+\kappa z^{\prime 2}+\kappa z^{\prime 4}+z^{\prime \prime }z^{\prime 2} = 0\nonumber\]

Cancelación de términos da

\[z^{\prime \prime }+\kappa \left( 1+z^{\prime 2}\right) = 0\nonumber\]

La separación de las variables conduce a

\[\arctan z^{\prime } = \int \frac{dz^{\prime }}{z^{\prime 2}+1} = -\int \kappa dx = -\kappa z+c_{1}\nonumber\]

La integración da

\[z(x) = \int_{-a}^{x}dz = \int_{-a}^{x}\tan (c_{1}-\kappa x)dx = \frac{\ln (\cos (c_{1}-\kappa x))-\ln (\cos (c_{1}+\kappa a))}{\kappa }+c_{2} = \frac{\ln \left( \frac{\cos (c_{1}-\kappa x)}{\cos (c_{1}+\kappa a)}\right) }{\kappa } +c_{2}\nonumber\]

Usando la condición inicial que\(z(-a) = 0\) da\(c_{2} = 0\). De igual manera la condición final\(z(a) = 0\) implica eso\( c_{1} = 0\). Así, la ecuación de Euler ha determinado que la trayectoria óptima que minimiza el costo integral\(C\) es

\[z(x) = \frac{1}{\kappa }\ln \left( \frac{\cos (\kappa x)}{\cos (\kappa a)} \right)\nonumber\]

Este ejemplo es típico de los problemas que se encuentran en la economía.