5.5: Funciones con Varias Variables Independientes

Funciones con varias variables independientes\(y_{i}(x)\)

La discusión se ha centrado en sistemas que tienen una sola función de\(y(x)\) tal manera que lo funcional es un extremo. Es más común tener un funcional que dependa de varias variables independientes\(f\left[ y_{1}(x),y_{1}^{\prime }(x),y_{2}(x),y_{2}^{\prime }(x),....;x\right]\) que pueden escribirse como

\[F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sum_{i=1}^{N}f\left[ y_{i}(x),y_{i}^{\prime }(x);x \right] dx \]

donde\(i=1,2,3,....,N.\)

Por analogía con el problema unidimensional, definir funciones vecinas\( \eta _{i}\) para cada variable. Entonces

\[\begin{align} y_{i}(\epsilon ,x) &=&y_{i}(0,x)+\epsilon \eta _{i}(x) \label{5.17} \\ y_{i}^{\prime }(\epsilon ,x) &\equiv &\frac{dy_{i}(\epsilon ,x)}{dx}=\frac{ dy_{i}(0,x)}{dx}+\epsilon \frac{d\eta _{i}}{dx} \notag\end{align}\]

donde\(\eta _{i}\) son las funciones independientes de\(x\) que desaparecen en\(x_{1}\) y\(x_{2}.\) Usando ecuaciones (\(5.2.10\)) y\ ref {5.17} conduce a los requisitos para que un valor extremo sea\[\frac{\partial F}{\partial \epsilon }=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sum_{i}^{N}\left( \frac{\partial f}{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial \epsilon }+\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime }}\frac{\partial y_{i}^{\prime }}{ \partial \epsilon }\right) dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sum_{i}^{N}\left( \frac{ \partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime }}\right) \eta _{i}(x)dx=0\]

Si las variables\(y_{i}(x)\) son independientes, entonces las\(\eta _{i}(x)\) son independientes. Dado que los\(\eta _{i}(x)\) son independientes, entonces evaluar la ecuación anterior en\(\epsilon =0\) implica que cada término en el paréntesis debe desvanecerse de manera independiente. Es decir, la ecuación diferencial de Euler se convierte en un conjunto de\(N\) ecuaciones para las variables\(N\) independientes

\[\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime }}=0 \]

donde\(i=1,2,3..N.\) Así, cada una de las\(N\) ecuaciones se puede resolver de forma independiente cuando las\(N\) variables son independientes. La ecuación de Euler implica derivadas parciales para las variables\( y_{i}\) dependientes\(y_{i\text{ }}^{\prime }\) y la derivada total para la variable independiente\(x\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Fermat's Principle

En\(\mathit{1662}\) Fermat propuso que la propagación de la luz obedeció al principio generalizado de menor tiempo de tránsito. En óptica, el principio de Fermat, o el principio del menor tiempo, es el principio de que el camino tomado entre dos puntos por un rayo de luz es el camino que se puede recorrer en el menor tiempo. Históricamente, la prueba del principio de Fermat por Johann Bernoulli fue uno de los primeros triunfos del cálculo de las variaciones, y sirvió como principio rector en la formulación de leyes físicas utilizando el cálculo variacional.

Considera la geometría que se muestra en la figura, donde la luz viaja del punto\(P_{1}(0,y_{1},0)\) al punto\( P_{2}(x_{2},-y_{2},0)\). El haz de luz cruza una interfaz de vidrio plano en el punto\(Q(x,0,z)\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Luz incidente sobre una interfaz de vidrio plano en el\((x, y)\) plano en\(y = 0\).

El matemático francés Fermat descubrió que el camino requerido recorrido por la luz es el camino para el que el tiempo de viaje\(t\) es mínimo. Es decir, el tiempo de tránsito desde el punto inicial\(P_{1}\) hasta el punto final\(P_{2}\) viene dado por

\[t=\int_{1}^{2}dt=\int_{1}^{2} \frac{ds}{v}=\frac{1}{c}\int_{1}^{2}nds=\frac{1}{c}\int_{1}^{2}n(x,y,z)\sqrt{ 1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}+\left( z^{\prime }\right) ^{2}}dy\nonumber\]

asumiendo que la velocidad de la luz en cualquier medio viene dada por\( v=c/n\) donde\(n\) está el índice de refracción del medio y\(c\) es la velocidad de la luz en vacío.

Este es un problema que tiene dos variables dependientes\(x(y)\) y\(z(y)\) con\(y\) elegido como la variable independiente. La integral se puede romper en dos partes\(y_{1}\rightarrow 0\) y\(0\rightarrow -y_{2}.\)

\[t=\frac{1}{c}\left[ \int_{y_{1}}^{0}n_{1}\sqrt{1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}+\left( z^{\prime }\right) ^{2}}dy+\int_{0}^{-y_{2}}n_{2}\sqrt{1+\left( x^{\prime }\right) ^{2}+\left( z^{\prime }\right) ^{2}}dy\right]\nonumber\]

Los funcionales son funciones de\(x^{\prime }\) y\( z^{\prime }\) pero no\(x\) o\(z\). Por lo tanto, la ecuación de Euler\(z\) simplifica a

\[0+\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{c}(\frac{n_{1}z^{\prime }}{\sqrt{1+x^{^{\prime }2}+z^{\prime 2}}}+\frac{n_{2}z^{\prime }}{\sqrt{1+x^{\prime 2}+z^{^{\prime }2}}})\right) =0\nonumber\]

Esto implica que\(z^{\prime }=0\), por lo tanto,\(z\) es una constante. Ya que se eligieron los valores inicial y final para ser\( z_{1}=z_{2}=0\), por lo tanto, en la interfaz\(z=0\). Del mismo modo las ecuaciones de Euler para\(x\) son

\[0+\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{c}(\frac{n_{1}x^{\prime }}{\sqrt{1+x^{^{\prime }2}+z^{\prime 2}}}+\frac{n_{2}x^{\prime }}{\sqrt{1+x^{\prime 2}+z^{^{\prime }2}}})\right) =0\nonumber\]

Pero\(x^{\prime }=\tan \theta _{1}\) para\(n_{1}\) y\(x^{\prime }=-\tan \theta _{2}\) para\(n_{2}\) y se demostró que\(z^{\prime }=0\). Así

\[0+\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{c}(\frac{n_{1}\tan \theta _{1}}{\sqrt{1+\left( \tan \theta _{1}\right) ^{2}}}-\frac{n_{2}\tan \theta _{2}}{\sqrt{1+\left( \tan \theta _{2}\right) ^{2}}})\right) =\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{c} (n_{1}\sin \theta _{1}-n_{2}\sin \theta _{2})\right) =0\nonumber\]Por lo tanto\(\frac{1}{c}(n_{1}\sin \theta _{1}-n_{2}\sin \theta _{2})=\) constante que debe ser cero desde cuando\(n_{1}=n_{2},\) entonces\(\theta _{1}=\theta _{2}\). Así, el principio de Fermat lleva a la Ley de Snell. \[n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\nonumber\]

La geometría de este problema es lo suficientemente simple como para minimizar directamente el camino en lugar de usar las ecuaciones de Euler para los dos parámetros como se realizó anteriormente. Las longitudes de los caminos\(P_{1}Q\) y\(QP_{2}\) son

\[\begin{aligned} P_{1}Q &=&\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}+z^{2}} \\ QP_{2} &=&\sqrt{\left( x_{2}-x\right) ^{2}+y_{2}^{2}+z^{2}}\end{aligned}\nonumber\]

El tiempo total de tránsito viene dado por

\[t=\frac{1}{c}\left( n_{1}\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}+z^{2}}+n_{2}\sqrt{\left( x_{2}-x\right) ^{2}+y_{2}^{2}+z^{2}}\right)\nonumber\]

Este problema involucra dos variables dependientes,\(y(x)\) y\(z(x)\). Para encontrar los mínimos, establecer las derivadas parciales\(\frac{ \partial t}{\partial z}=0\) y\(\frac{\partial t}{\partial x}=0\). Es decir,

\[\frac{\partial t}{\partial z}=\frac{1}{c}(\frac{n_{1}z}{\sqrt{ x^{2}+y_{1}^{2}+z^{2}}}+\frac{n_{2}z}{\sqrt{\left( x_{2}-x\right) ^{2}+y_{2}^{2}+z^{2}}})=0\nonumber\]

Esto es cero sólo si\(\ z=0\), ese es el punto\(Q\) se encuentra en el plano que contiene\(P_{1}\) y\(P_{2}\). Del mismo modo

\[\frac{\partial t}{\partial x}=\frac{1}{c}(\frac{n_{1}x}{\sqrt{ x^{2}+y_{1}^{2}+z^{2}}}-\frac{n_{2}(x_{2}-x)}{\sqrt{\left( x_{2}-x\right) ^{2}+y_{2}^{2}+z^{2}}})=\frac{1}{c}\left( n_{1}\sin \theta _{1}-n_{2}\sin \theta _{2}\right) =0 \nonumber\]

Esto es cero solo si se aplica la ley de Snell que es

\[n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\nonumber\]

El principio de Fermat ha demostrado que la luz refractada viene dada por la Ley de Snell, y se encuentra en un plano normal a la superficie. Las leyes de reflexión también se dan desde entonces\(n_{1}=n_{2}=n\) y el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Minimum of \((\nabla \phi)^2\) in a volume

Encuentra la función\(\phi (x_{1},x_{2},x_{3})\) que tiene el valor mínimo de\(\left( \nabla \phi \right) ^{2}\) por unidad de volumen. Para el volumen\(V\) se desea minimizar lo siguiente

\[J= \frac{1}{V}\int \int \int \left( \nabla \phi \right) ^{2}dx_{1}dx_{2}dx_{3}= \frac{1}{V}\int \int \int \left[ \left( \frac{\partial \phi }{\partial x_{1}} \right) ^{2}+\left( \frac{\partial \phi }{\partial x_{2}}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial \phi }{\partial x_{3}}\right) ^{2}\right] dx_{1}dx_{2}dx_{3}\nonumber\]

Tenga en cuenta que las variables\(x_{1},x_{2},x_{3}\) son independientes, por lo que se puede utilizar la ecuación de Euler para varias variables independientes. Para minimizar lo funcional\(J\), la función

\[f=\left( \frac{\partial \phi }{\partial x_{1}}\right) ^{2}+\left( \frac{ \partial \phi }{\partial x_{2}}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial \phi }{ \partial x_{3}}\right) ^{2} \tag{$\alpha $ }\]

debe satisfacer la ecuación de Euler

\[\frac{\partial f}{\partial \phi }-\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left( \frac{\partial f}{\partial \phi ^{\prime }}\right) =0\nonumber\]

donde\(\phi ^{\prime }=\frac{\partial \phi }{\partial x_{i}}\). Sustituir\(f\) en la ecuación de Euler da

\[\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left( \frac{\partial \phi }{ \partial x_{i}}\right) =0\nonumber\]

Esta es solo la ecuación de Laplace

\[\nabla ^{2}\phi =0\nonumber\]

Por lo tanto,\(\phi\) debe satisfacer la ecuación de Laplace para que\(J\) lo funcional sea mínimo.