5.8: Coordenadas generalizadas en Cálculo Variacional

La mecánica newtoniana se basa en un tratamiento vectorial de la mecánica que puede ser difícil de aplicar a la hora de resolver problemas complicados en mecánica. Las fuerzas de restricción que actúan sobre un sistema generalmente son desconocidas. En la mecánica newtoniana se deben incluir explícitamente las fuerzas restringidas para que puedan determinarse simultáneamente con la solución de las ecuaciones dinámicas de movimiento. La mayor ventaja de los enfoques variacionales es que la solución de las ecuaciones dinámicas de movimiento puede simplificarse expresando el movimiento en términos de coordenadas generalizadas\(n\) independientes. Estas coordenadas generalizadas pueden ser cualquier conjunto de variables independientes,\(q_{i}\), donde\(1\leq i\leq n\), más las velocidades correspondientes\( \dot{q}_{i}\) para la mecánica lagrangiana, o las variables canónicas correspondientes,\(q_{i},p_{i}\) para la mecánica hamiltoniana. Estas coordenadas generalizadas para las\(n\) variables se utilizan para especificar la dependencia funcional escalar de estas coordenadas generalizadas. El enfoque variacional emplea este funcional escalar para determinar la trayectoria. Las coordenadas generalizadas utilizadas para el enfoque variacional no necesitan ser ortogonales, solo necesitan ser independientes ya que solo se utilizan para especificar completamente la magnitud del funcional escalar. Esto expande en gran medida el arsenal de posibles coordenadas generalizadas más allá de lo que está disponible usando la mecánica newtoniana. Por ejemplo, las coordenadas generalizadas pueden ser las amplitudes adimensionales para los modos\(n\) normales de los sistemas de osciladores acoplados, o variables de ángulo de acción. Además, para cada una de las\(n\) variables se pueden utilizar coordenadas generalizadas que tienen diferentes dimensiones. Cada coordenada generalizada,\(q_{i}\) especifica un modo independiente del sistema, no una partícula específica. Por ejemplo, cada modo normal de osciladores acoplados puede implicar el movimiento correlacionado de varias partículas acopladas. La principal ventaja de usar coordenadas generalizadas es que se pueden elegir para que sean perpendiculares a una fuerza de restricción correspondiente y, por lo tanto, esa fuerza de restricción específica no funciona para el movimiento a lo largo de esa coordenada generalizada. Además, el movimiento restringido no funciona en la dirección de la fuerza de restricción para restricciones rígidas. Por lo tanto, las coordenadas generalizadas permiten ignorar fuerzas de restricción específicas en la evaluación de la funcionalidad minimizada. Esta libertad y flexibilidad de elección de coordenadas generalizadas permite que el movimiento correlacionado producido por las fuerzas de restricción se incruste directamente en la elección de las coordenadas generalizadas independientes, y las fuerzas de restricción reales pueden ignorarse. La incrustación de las correlaciones inducidas por restricción en las coordenadas generalizadas, efectivamente “barre las fuerzas de restricción debajo de la alfombra”, lo que simplifica enormemente las ecuaciones de movimiento para cualquier sistema que involucre fuerzas de restricción. La selección de las coordenadas generalizadas apropiadas puede ser obvia, y muchas veces es realizada inconscientemente por el usuario.

Se utilizan tres enfoques variacionales que emplean coordenadas generalizadas para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema que tiene coordenadas\(n\) generalizadas sujetas a\(m\) restricciones.

1) Conjunto mínimo de coordenadas generalizadas: Cuando las\(m\) ecuaciones de restricción son holonómicas, entonces las relaciones de restricción\(m\) algebraicas pueden usarse para transformar las coordenadas en coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes\(q_{i}\). Este enfoque reduce el número de incógnitas,\(n,\) por el número de restricciones\(m\), para dar un conjunto mínimo de variables dinámicas generalizadas\( s=n-m\) independientes. Las fuerzas de restricción no se discuten explícitamente, ni se determinan, cuando se emplea este enfoque de coordenadas generalizadas. Este enfoque simplifica enormemente la solución de problemas dinámicos al evitar la necesidad de un tratamiento explícito de las fuerzas de restricción. Este enfoque es sencillo para las restricciones holonómicas, ya que las coordenadas\(n\) espaciales\( y_{1}(x),\dots y_{N}(x),\) están acopladas por ecuaciones\(m\) algebraicas que pueden ser utilizadas para realizar la transformación a coordenadas generalizadas. Así, las coordenadas espaciales\(n\) acopladas se transforman en coordenadas dinámicas generalizadas\(s=n-m\) independientes\(q_{1}(x),\dots .q_{s}(x)\), y sus primeras derivadas generalizadas\( \dot{q}_{1}(x),\dots .\dot{q}_{s}(x).\) Estas coordenadas generalizadas son independientes, y por lo tanto es posible usar la ecuación de Euler para cada parámetro independiente\(q_{i}\)

\[\frac{\partial f}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial q_{i}^{\prime }}=0\]

donde\(i=1,2,3...s\). Existen\(s=n-m\) tales ecuaciones de Euler. La libertad de elegir coordenadas generalizadas subyace a la tremenda ventaja de aplicar el enfoque variacional.

2) Multiplicadores Lagrange: Las ecuaciones de \(n\)Lagrange, más las\(m\) ecuaciones de restricción, se pueden utilizar para determinar explícitamente las coordenadas\(n\) generalizadas más las fuerzas de\(m\) restricción. Es decir, se determinan las\(n+m\) incógnitas. Este enfoque se discute en el capítulo\(5.9\).

3) Fuerzas generalizadas: Este enfoque introduce explícitamente las fuerzas de restricción. Este enfoque, aplicado a la mecánica lagrangiana, se discute en el capítulo\(6.6.3.\)

Los tres enfoques anteriores explotan las coordenadas generalizadas para manejar las fuerzas de restricción como se describe en el capítulo\(6\).