5.9: Multiplicadores de Lagrange para Restricciones Holonómicas

Ecuaciones algebraicas de restricción

La técnica del multiplicador Lagrange proporciona una manera poderosa y elegante de manejar las restricciones holonómicas usando las ecuaciones ¹ de Euler. El método general de multiplicadores Lagrange para\(n\) variables, con\(m\) restricciones, se introduce mejor utilizando la ingeniosa explotación de Bernoulli de los desplazamientos infinitossimales virtuales, que Lagrange significó por el símbolo\(\delta\). El término “virtual” se refiere a una variación intencional de las coordenadas generalizadas con el\(\delta q_{i}\) fin de dilucidar la sensibilidad local de una función\(F(q_{i},x)\) a la variación de la variable. Contrario al habitual intervalo infinitossimal en el cálculo diferencial, donde\(dq_{i}\) se produce un desplazamiento real durante un tiempo\(dt\), se imagina que un desplazamiento virtual es un desplazamiento instantáneo, infinitessimal, de una coordenada, no un desplazamiento real, con el fin de dilucidar lo local dependencia de\(F\) la coordenada. La dependencia local de cualquier desplazamiento funcional\(F,\) a virtual de todas las\(n\) coordenadas, se da tomando los diferenciales parciales de\(F\).

\[\delta F=\sum_{i}^{n}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\delta q_{i} \label{5.35}\]

La función\(F\) es estacionaria, es decir un extremo, si la ecuación\ ref {5.35} es igual a cero. El extremo de lo funcional\(F\), dado por la ecuación (\(5.5.1\)), se puede expresar de forma compacta utilizando el formalismo de desplazamiento virtual como\[\delta F=\delta \int_{x_{1}}^{x_{2}}\sum_{i}^{n}f\left[ q_{i}(x),q_{i}^{\prime }(x);x\right] dx=\sum_{i}^{n}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\delta q_{i}=0\label{5.36}\]

Las condiciones auxiliares, debido a las restricciones algebraicas\(m\) holonómicas para las\(n\) variables\(q_{i}\), pueden ser expresadas por las\(m\) ecuaciones

\[g_{k}(\mathbf{q})=0\label{5.37}\]

donde\(1\leq k\leq m\) y\(1\leq i\leq n\) con\(m<n\). El problema variacional para las ecuaciones de restricción\(m\) holonómica también se puede escribir en términos de ecuaciones\(m\) diferenciales donde\(1\leq k\leq m\)\[\delta g_{k}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}\delta q_{i}=0\label{5.38}\]

Dado que las ecuaciones\ ref {5.36} y\ ref {5.38} ambas son iguales a cero, las\(m\) ecuaciones\ ref {5.38} pueden multiplicarse por factores arbitrarios indeterminados\(\lambda _{k},\) y agregarse a las ecuaciones\ ref {5.36} para dar.

\[\delta F(q_{i},x)+\lambda _{1}\delta g_{1}+\lambda _{2}\delta g_{2}\cdot \cdot \lambda _{k}\delta g_{k}\cdot \cdot \lambda _{m}\delta g_{m}=0\label{5.39}\]

Tenga en cuenta que esto no es trivial en que aunque la suma de las ecuaciones de restricción para cada una\(y_{i\text{ }}\) es cero; los términos individuales de la suma no son cero.

Insertar ecuaciones\ ref {5.36} más\ ref {5.38} en\ ref {5.39}, y recoger todos los\(n\) términos, da\[\sum_{i}^{n}\left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}\right) \delta q_{i}=0\label{5.40}\]

Obsérvese que todas las\(\delta q_{i}\) son variaciones libres independientes y así los términos entre paréntesis, que son los coeficientes de cada uno\(\delta q_{i}\), individualmente deben ser iguales a cero. Para cada uno de los\(n\) valores de\(i\), el corchete correspondiente implica

\[\frac{\partial F}{\partial q_{i}}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}=0\label{5.41}\]

Esto equivale a lo que se obtendría del principio variacional

\[\delta F+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\delta g_{k}=0\label{5.42}\]

La ecuación\ ref {5.42} es equivalente a un problema variacional para encontrar el valor estacionario de\(F^{\prime }\)

\[\delta \left( F^{\prime }\right) =\delta \left( F+\sum_{k}^{m}\lambda _{k}g_{k}\right) =0\label{5.43}\]

donde\(F^{\prime }\) se define como

\[F^{\prime }\equiv \left( F+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}g_{k}\right)\label{5.44}\]

La solución a la Ecuación\ ref {5.43} se puede encontrar usando la ecuación diferencial (\(5.5.4\)) de cálculo variacional de Euler. En el extremo\(\delta \left( F^{\prime }\right) =0\) corresponde a los siguientes contornos de constante\(F^{\prime }\) que se encuentran en la superficie que es perpendicular a los gradientes de los términos en\(F^{\prime }\). Se requieren las constantes del multiplicador de Lagrange porque, aunque estos gradientes son paralelos en el extremo, las magnitudes de los gradientes no son iguales.

La belleza del enfoque de multiplicadores Lagrange es que las condiciones auxiliares no tienen que manejarse explícitamente, ya que se manejan automáticamente como variables libres\(m\) adicionales durante la solución de ecuaciones de Euler para un problema variacional con\(n+m\) incógnitas ajustadas a\(n+m\) ecuaciones . Es decir, las\(n\) variables\(q_{i}\) son determinadas por el procedimiento variacional utilizando las ecuaciones\(n\) variacionales

\[\frac{d}{dx}(\frac{\partial F^{\prime }}{\partial q_{i}^{\prime }})-(\frac{\partial F^{\prime }}{\partial q_{i}})=\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial q_{i}^{\prime }})-(\frac{\partial F}{\partial q_{i}})-\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}=0 \label{5.45}\]

simultáneamente con las\(m\) variables\(\lambda _{k}\) que son determinadas por las ecuaciones\(m\) variacionales

\[\frac{d}{dx}(\frac{\partial F^{\prime }}{\partial \lambda _{k}^{\prime }})-(\frac{\partial F^{\prime }}{\partial \lambda _{k}})=0\label{5.46}\]

La ecuación\ ref {5.45} generalmente se expresa como

\[(\frac{\partial F}{\partial q_{i}})-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial q_{i}^{\prime }})+\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}=0 \label{5.47}\]

La elegancia de los multiplicadores Lagrange es que un enfoque variacional único permite la determinación simultánea de todas las\(n+m\) incógnitas. Capítulo\(6.2\) muestra que las fuerzas de restricción están dadas directamente por los\(\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}\) términos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Two dependent variables coupled by one holonomic constraint

La poderosa y generalmente aplicable técnica del multiplicador Lagrange se ilustra considerando el caso de solo dos variables dependientes,\(y(x),\) y\(z\left( x\right) ,\) con la función\(f(y(x),y^{\prime }(x),z(x),z(x)^{\prime };x)\) y con una ecuación holonómica de restricción acoplando estas dos variables dependientes. El extremo se da al requerir

\[\frac{\partial F}{\partial \epsilon }=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[ \left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}\right) \frac{\partial y}{\partial \epsilon }+\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }}\right) \frac{\partial z}{\partial \epsilon }\right] dx=0 \tag{$A$} \label{A}\]

con la restricción expresada por la condición auxiliar

\[g\left( y,z;x\right) =0 \tag{$B$} \label{B}\]

Tenga en cuenta que las variaciones\(\frac{\partial y}{\partial \epsilon }\) y ya no\(\frac{\partial z}{\partial \epsilon }\) son independientes debido a la ecuación de restricción, por lo tanto los dos términos entre paréntesis de la Ecuación\ ref {A} no son por separado iguales a cero en el extremo. Sin embargo, la diferenciación de la restricción Ecuación\ ref {B} da

\[\frac{dg}{d\epsilon }=\left( \frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \epsilon }+\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \epsilon }\right) =0 \tag{$C$} \label{C}\]

No se aplica\(\frac{\partial g}{\partial x}\) término porque, para la variable independiente,\(\frac{\partial x}{\partial \epsilon }\)\(=0.\) Introducir las rutas vecinas agregando las funciones auxiliares

\[\begin{align} y(\epsilon ,x) &=&y(x)+\epsilon \eta _{1}(x) \tag{$D$} \label{D} \\ z(\epsilon ,x) &=&z(x)+\epsilon \eta _{2}(x) \tag{$E$} \label{E}\end{align}\]

Insertar los diferenciales de ecuaciones\ ref {D} y\ ref {E}, en\ ref {C} da

\[\frac{dg}{d\epsilon }=\left( \frac{\partial g}{\partial y}\eta _{1}(x)+\frac{\partial g}{\partial z}\eta _{2}(x)\right) =0 \tag{$F$} \label{F}\]

lo que implica que

\[\eta _{2}(x)=-\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial z}}\eta _{1}(x) \nonumber\]

La ecuación\ ref {A} se puede reescribir como

\[\begin{align} \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[ \left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}\right) \eta _{1}(x)+\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }}\right) \eta _{2}(x)\right] dx &=&0 \notag \\ \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[ \left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}\right) -\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }}\right) \frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial z}}\right] \eta _{1}(x)dx &=&0 \tag{$G$} \label{G}\end{align}\]

La ecuación\ ref {G} ahora contiene solo una única función arbitraria\(\eta _{1}(x)\) que no está restringida por la restricción. Así, el corchete en el integrando de la Ecuación\ ref {G} debe ser igual a cero para el extremo. Eso es

\[\left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}\right) \left( \frac{\partial g}{\partial y}\right) ^{-1}=\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }}\right) \left( \frac{\partial g}{\partial z}\right) ^{-1}\equiv -\lambda (x) \notag\]

Ahora el lado izquierdo de esta ecuación es solo una función de\(f\) y\(g\) con respecto a\(y\) y\(y^{\prime }\) mientras que el lado derecho es una función de\(f\) y\(g\) con respecto a\(z\) y\(z^{\prime }.\) Porque ambos lados son funciones de\(x\) entonces cada lado se puede establecer igual a una función\(-\lambda (x).\) Así, las ecuaciones anteriores se pueden escribir como

\[\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}-\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \left( x\right) \frac{\partial g}{\partial y}\hspace{1in}\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z^{\prime }}-\frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \left( x\right) \frac{\partial g}{\partial z} \tag{$H$} \label{H}\]

La solución completa de las tres funciones desconocidas. \(y(x),z(x),\)y\(\lambda (x).\) se obtiene resolviendo las dos ecuaciones,\ ref {H}, más la ecuación de restricción\ ref {F}. El multiplicador de Lagrange\(\lambda (x)\) está relacionado con la fuerza de restricción. Este ejemplo de dos variables acopladas por una restricción holonómica se ajusta a la relación general para muchas variables y restricciones dadas por la Ecuación\ ref {5.47}.

Ecuaciones integrales de restricción

La ecuación de restricción también se puede dar en una forma integral que se usa frecuentemente para problemas isoperimétricos. Considerar un problema isoperimétrico de una variable dependiente, para encontrar la curva\(q=q(x)\) tal que la funcional tenga un extremo, y la curva\(q(x)\) satisfaga condiciones límite tales que\(q(x_{1})=a\) y\(q(x_{2})=b\). Eso es

\[F(y)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(q,q^{\prime };x)dx\]

es un extremo tal que la longitud fija\(l\) del perímetro satisface la restricción integral\[G(y)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}g(q,q^{\prime };x)dx=l\]

Análogamente a\ ref {5.44} estos dos funcionales se pueden combinar requiriendo que

\[\delta K(q,x,\lambda )\equiv \delta \left[ F(q)+\lambda G(q)\right] =\delta \int_{x_{1}}^{x_{2}}[f+\lambda g]dx=0\]

Es decir, es un extremo para ambos\(q(x)\) y para el multiplicador de Lagrange\(\lambda\). Esto implica efectivamente encontrar la ruta extrema para la función\(K(q,x,\lambda )=F(q,x)+\lambda G(q,x)\) donde ambas\(q(x)\) y\(\lambda\) son las variables minimizadas. Por lo tanto, la curva\(q(x)\) debe satisfacer la ecuación diferencial

\[\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial q_{i}^{\prime }}-\frac{\partial f}{\partial q_{i}}+\lambda \left[ \frac{d}{dx}\frac{\partial g}{\partial q_{i}^{\prime }}-\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right] =0 \label{5.51}\]

sujeto a las condiciones de límite\(q(x_{1})=a,\)\(q(x_{2})=b,\) y\(G(q)=l\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Catenary

Un problema isoperimétrico es la catenaria que es la forma de una cuerda uniforme o cadena de longitud fija\(l\) que minimiza la energía potencial gravitacional. Deje que la cuerda tenga una masa uniforme por unidad de longitud de\(\sigma\) kg/m\(.\)

Figura\(\PageIndex{1}\): La catenaria

La energía potencial gravitacional es

\[U=\sigma g\int_{1}^{2}yds=\sigma g\int_{1}^{2}y\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sigma g\int_{1}^{2}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx \notag\]

La restricción es que la longitud sea una constante\(l\)

\[l=\int_{1}^{2}ds=\int_{1}^{2}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx \notag\]

Por lo tanto, la función es\(f(y,y^{\prime };x)=y\sqrt{1+y^{\prime 2}}\) mientras que la restricción integral establece\(g=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\)

Estos deben insertarse en la Ecuación de Euler\ ref {5.51} definiendo

\[F=f+\lambda g=(y+\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}\nonumber\]

Tenga en cuenta que este caso es uno donde\(\frac{\partial F}{\partial x}=0\) y\(\lambda\) es una constante; también definiendo\(z=y+\lambda\) entonces\(z^{\prime }=y^{\prime }.\) Por lo tanto las ecuaciones de Euler se pueden escribir en la forma integral

\[F-z^{\prime }\frac{\partial F}{\partial z^{\prime }}=c=\text{constant}\nonumber\]

Insertar la relación\(F=z\sqrt{1+z^{\prime 2}}\) da

\[z\sqrt{1+z^{\prime 2}}-z^{\prime }\frac{zz^{\prime }}{\sqrt{1+z^{\prime 2}}}=c\nonumber\]

donde\(c\) es una constante arbitraria. Esto simplifica a

\[z^{\prime 2}=\left( \frac{z}{c}\right) ^{2}-1\nonumber\]

La integral de esto es

\[z=c\cosh \left( \frac{x+b}{c}\right)\nonumber\]

donde\(b\) y\(c\) son constantes arbitrarias fijadas por las ubicaciones de los dos extremos fijos de la cuerda.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): The Queen Dido problem

Una famosa leyenda isoperimétrica restringida es la de Dido, primera reina de Cartago. Cuenta la leyenda que, cuando Dido aterrizó en el norte de África, convenció al jefe local para que le vendiera tanta tierra como pudiera contener un pellejo de buey. Cortó un pellejo de buey en franjas estrechas y las unió para hacer un hilo continuo de más de cuatro kilómetros de longitud lo cual fue suficiente para encerrar el terreno colindante con la costa sobre la que se construyó Cartago. Su problema era encerrar el área máxima para un perímetro determinado. Supongamos que la línea de costa es recta y los extremos del hilo están\(\pm a\) en la línea de costa. El área cerrada está dada por

\[A=\int_{-a}^{+a}ydx\nonumber\]

La ecuación de restricción es que el perímetro total es igual\(l\).

\[\int_{-a}^{a}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=l\nonumber\]

Así tenemos que lo funcional\(f(y,y^{\prime },x)=y\) y\(g(y,y^{\prime },x)=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\). Luego\(\frac{\partial f}{\partial y}=1,\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}=0,\frac{\partial g}{\partial y}=0\) e\(\frac{\partial g}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}.\) insertarlos en la Ecuación de Euler-Lagrange\ ref {5.51} da

\[1-\lambda \frac{d}{dx}\left[ \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\right] =0\nonumber\]

Eso es

\[\frac{d}{dx}\left[ \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}\right] =\frac{1}{\lambda }\nonumber\]

Integrar con respecto a\(x\) da

\[\frac{\lambda y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=x-b\nonumber\]

donde\(b\) es una constante de integración. Esto se puede reorganizar para dar

\[y^{\prime }=\frac{\pm \left( x-b\right) }{\sqrt{\lambda ^{2}-\left( x-b\right) ^{2}}}\nonumber\]

La integral de esto es

\[y=\mp \sqrt{\lambda ^{2}-\left( x-b\right) ^{2}}+c\nonumber\]

Reorganizar esto da

\[\left( x-b\right) ^{2}+\left( y-c\right) ^{2}=\lambda ^{2}\nonumber\]

Esta es la ecuación de un círculo centrado en\((b,c)\). Establecer los límites a ser\(\left( -a,0\right)\) a\(\left( a,0\right)\) da eso\(b=c=0\) y el radio del círculo es\(\lambda .\) Así la longitud del hilo debe ser\(l=\pi \lambda\). Suponiendo que\(l=4km\) entonces\(\lambda =1.27km\) y la reina Dido pudiera comprar un área de\(2.53km^{2}.\)

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¹ Este libro de texto utiliza el símbolo\(q_i\) para designar una coordenada generalizada, y\(q^{\prime}_i\) para designar la primera derivada correspondiente con respecto a la variable independiente, a fin de diferenciar las coordenadas espaciales de las coordenadas generalizadas más potentes.