5.11: Aproximación Variacional a la Mecánica Clásica

Este capítulo ha introducido los principios generales del cálculo variacional necesarios para comprender los enfoques lagrangiano y hamiltoniano de la mecánica clásica. Aunque el cálculo variacional se desarrolló originalmente para la mecánica clásica, ahora ha crecido hasta ser una rama importante de las matemáticas con aplicaciones a muchos otros campos fuera de la física. El prólogo de este libro enfatizó las diferencias dramáticas entre el enfoque vectorial diferencial de la mecánica newtoniana y los enfoques variacionales integrales de la mecánica Lagrange y Hamiltoniana. El enfoque vectorial newtoniano implica resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de Newton que relacionan los vectores de fuerza y momento. Esto requiere el conocimiento de la dependencia temporal de todos los vectores de fuerza, incluidas las fuerzas de restricción, que actúan sobre el sistema, lo que puede ser muy complicado. El capítulo\(2\) mostró que las integrales de tiempo de primer orden, ecuaciones (\(2.4.1\)), (\(2.4.7\)), relacionan los momentos totales inicial y final sin requerir el conocimiento de las complicadas fuerzas instantáneas que actúan durante la colisión de dos cuerpos. De igual manera, para los sistemas conservadores, la integral espacial de primer orden, ecuación (\(2.4.12\)), relaciona las energías totales iniciales y finales con el trabajo neto realizado en el sistema sin requerir el conocimiento de los vectores de fuerza instantáneos. La integral espacial de primer orden tiene la ventaja de que es una cantidad escalar, en contraste con las integrales de tiempo que son cantidades vectoriales. Estas relaciones integrales de primer orden se utilizan frecuentemente en la mecánica newtoniana para derivar soluciones de las ecuaciones de movimiento que evitan tener que resolver complicadas ecuaciones diferenciales de movimiento.

Este capítulo ha ilustrado que los principios variacionales proporcionan un medio para derivar información más detallada, como las trayectorias para el movimiento entre condiciones iniciales y finales dadas, al requerir que los funcionales escalares tengan valores extremos. Por ejemplo, la solución del problema de la brachistocronía determinó la trayectoria que tenía el tiempo mínimo de tránsito, basándose únicamente en las magnitudes de las energías potenciales cinéticas y gravitacionales. De manera similar, la forma catenaria de una cadena suspendida se derivó minimizando la energía potencial gravitacional. El cálculo de variaciones utiliza las ecuaciones de Euler para determinar directamente las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema que conducen a que el funcional de interés sea estacionario en un extremo. Los enfoques variacionales lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica clásica se discuten en capítulos\(6-16\). Se ilustrará la amplia gama de aplicabilidad, la flexibilidad y el poder que proporcionan los enfoques variacionales de la mecánica clásica y la física moderna.