5.E: Cálculo de variaciones (Ejercicios)

1. Encuentra lo extremo de lo funcional

\[J(x) = \int^2_1 \frac{\dot{x}^2}{t^3} dt \nonumber\]

que satisface\(x(1) = 3\) y\(x(2) = 18\). Demostrar que este extremo proporciona el mínimo global de\(J\).

2. Considerar el uso de ecuaciones de restricción.

1. Una partícula está restringida a moverse sobre la superficie de una esfera. ¿Cuáles son las ecuaciones de restricción para este sistema?
2. Un disco de masa\(m\) y radio\(R\) rueda sin deslizarse sobre la superficie exterior de un medio cilindro de radio\(5R\). ¿Cuáles son las ecuaciones de restricción para este sistema?
3. ¿Qué son las restricciones holonómicas? ¿Cuáles de las ecuaciones de restricción que encontraste anteriormente son holonómicas?
4. Se dice que las ecuaciones de restricción que no contienen explícitamente el tiempo son escleronómicas. Las restricciones móviles son reonómicas. ¿Las ecuaciones de restricción que encontraste arriba son escleronómicas o reonómicas?

3. Para cada uno de los siguientes sistemas, describa las coordenadas generalizadas que mejor funcionarían. Puede haber más de una respuesta por cada sistema.

1. Un plano inclinado de masa\(M\) se desliza sobre una superficie horizontal lisa, mientras que una partícula de masa\(m\) se desliza sobre la superficie inclinada lisa.
2. Un disco rueda sin deslizarse a través de un plano horizontal. El plano del disco permanece vertical, pero es libre de rotar alrededor de un eje vertical.
3. Un péndulo doble que consta de dos péndulos simples, con un péndulo suspendido del bob del otro. Las dos péndula tienen longitudes iguales y tienen masas de igual masa. Ambas péndula están confinadas para moverse en un mismo plano.
4. Una partícula de masa\(m\) está restringida para moverse en un círculo de radio\(R\). El círculo gira en el espacio alrededor de un punto en el círculo, que es fijo. La rotación se realiza en el plano del círculo, con velocidad angular constante\(\omega\), en ausencia de una fuerza gravitacional.
5. Una partícula de masa\(m\) es atraída hacia un punto dado por una fuerza de magnitud\(k/r^2\), donde\(k\) es una constante.

4. Mirando hacia atrás a los sistemas en problema\(3\), ¿cuáles podrían tener ecuaciones de restricción? ¿Cómo clasificarías las ecuaciones de restricción (holonómica, escleronómica, reonómica, etc.)?

5. Encuentra lo extremo de lo funcional\[J(x) = \int^{\pi}_0 (2x \sin t - \dot{x}^2) dt\nonumber\] que satisface\(x(o) = x(\pi) = 0\). Demostrar que este extremo proporciona el máximo global de\(J\).

6. Encontrar y describir el camino\(y = y(x)\) para el que la integral\(\int^{x_2}_{x_1} \sqrt{x} \sqrt{1 + (y^{\prime})^2} dx\) es estacionaria.

7. Encuentra las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo circunscrito por una esfera de radio\(R\).

8. Considera un solo bucle del cicloide que tenga un valor fijo de\(a\) como se muestra en la figura. Un auto liberado del descanso en cualquier punto en\(P_0\) cualquier lugar de la pista entre\(O\) y el punto más bajo\(P\), es decir,\(P_0\) tiene un parámetro\(0 < \theta_0 < \pi\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Demostrar que el tiempo\(T\) para que el carro\(P\) se deslice de\(P_0\) a viene dado por la integral\[T(P_0 \rightarrow P) = \sqrt{\frac{a}{g}} \int^{\pi}_{\theta_0} \sqrt{\frac{1 − \cos \theta}{ \cos \theta_0 − \cos \theta}} d\theta\nonumber\]
2. Demostrar que este tiempo\(T\) es igual a\(\pi \sqrt{a/g}\) lo que es independiente de la posición\(P_0\).
3. Explique cualitativamente cómo este sorprendente resultado puede ser posiblemente cierto.

9. Considera un medio para el cual el índice de refracción\(n = \frac{a}{r^2}\) donde\(a\) es una constante y\(r\) es la distancia desde el origen. Usa el Principio de Fermat para encontrar la trayectoria de un rayo de luz viajando en un plano que contiene el origen. Pista, use coordenadas polares bidimensionales con\(\phi = \phi (r)\). Mostrar que el camino resultante es un círculo a través del origen.

10. Encuentra el camino más corto entre los\((x, y, z)\) puntos\((0, −1, 0)\) y\((0, 1, 0)\) sobre una superficie cónica\[z = 1 − \sqrt{x^2 + y^2}\nonumber\] ¿Cuál es la longitud de este camino? Tenga en cuenta que este es el camino de montaña más corto alrededor de un volcán.

11. Mostrar que el geodésico en la superficie de un cilindro circular derecho es un segmento de una hélice.