5.10: Geodésico

El geodésico se define como el camino más corto entre dos puntos fijos para el movimiento que está restringido para que se encuentre en una superficie. El cálculo variacional proporciona un enfoque poderoso para determinar las ecuaciones de movimiento restringidas para seguir un geodésico.

El uso del cálculo variacional se ilustra considerando la restricción geodésica para seguir la superficie de una esfera de radio\(R\). Como se discute en el apéndice\(19.3.2C\), el elemento de longitud de trayectoria en la superficie de la esfera se da en coordenadas esféricas como\(ds=R \sqrt{d\theta ^{2}+\left( \sin \theta d\phi \right) ^{2}}\). Por lo tanto la distancia\(s\) entre dos puntos\(1\) y\(2\) es

\[s=R\int_{1}^{2}\left[ \sqrt{\left( \frac{d\theta }{d\phi }\right) ^{2}+\sin ^{2}\theta }\right] d\phi\]

La función\(f\) para asegurar que\(s\) sea un valor extremo utiliza

\[f=\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }\]

donde\(\theta ^{\prime }=\frac{d\theta }{d\phi }.\) Este es un caso donde\( \frac{\partial f}{\partial \phi }=0\) y por lo tanto la forma integral de la ecuación de Euler puede ser utilizada llevando al resultado que

\[\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }-\theta ^{\prime }\frac{\partial }{ \partial \theta ^{\prime }}\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }=\text{ constant}=a\]

Esto da que

\[\sin ^{2}\theta =a\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }\]

Esto se puede reescribir como

\[\frac{d\phi }{d\theta }=\frac{1}{\theta ^{\prime }}=\frac{a\csc ^{2}\theta }{ \sqrt{1-a^{2}\csc ^{2}\theta }}\]

Resolviendo para\(\phi\) da

\[\phi =\sin ^{-1}\left( \frac{\cot \theta }{\beta }\right) +\alpha\]

donde

\[\beta \equiv \frac{1-a^{2}}{a^{2}}\]

Eso es

\[\cot \theta =\beta \sin \left( \phi -\alpha \right)\]

La expansión del seno y la cotangente da

\[\left( \beta \cos \alpha \right) R\sin \theta \sin \phi -\left( \beta \sin \alpha \right) R\sin \theta \cos \phi =R\cos \theta\]

Como los corchetes son constantes, esto puede escribirse como

\[A\left( R\sin \theta \sin \phi \right) -B\left( R\sin \theta \cos \phi \right) =\left( R\cos \theta \right)\]

Los términos entre corchetes son solo expresiones para las coordenadas rectangulares Es\(x,y,z.\) decir,\[Ay-Bx=z\]

Esta es la ecuación de un plano que pasa por el centro de la esfera. Así, el geodésico en una esfera es el camino donde un plano a través del centro cruza la esfera así como las ubicaciones inicial y final. A este geodésico se le llama un gran círculo. La ecuación de Euler da tanto la máxima como la mínima longitud de trayectoria extrema para el movimiento en este gran círculo.

Capítulo\(17\) discute lo geodésico en las coordenadas cuatridimensionales espacio-tiempo que subyacen a la Teoría General de la Relatividad. Como consecuencia, el uso del cálculo de variaciones para determinar las ecuaciones de movimiento para geodésicas juega un papel fundamental en la Teoría General de la Relatividad.