5.S: Cálculo de variaciones (Resumen)

Ecuación diferencial de Euler

Se ha introducido el cálculo de las variaciones y se deriva la ecuación diferencial de Euler. El cálculo de las variaciones reduce a variar las funciones\(y_{i}(x),\) donde\(i=1,2,3,...n\), tal que la integral

\[F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left[ y_{i}(x),y_{i}^{\prime }(x);x\right] dx \]

es un extremo, es decir, es un máximo o mínimo. Aquí\(x\) está la variable independiente,\(y_{i}(x)\) son las variables dependientes más sus primeras derivadas\(y_{i}^{\prime }\equiv \frac{dy_{i}}{dx}.\) La cantidad\(f\left[ y(x),y^{\prime }(x);x\right]\) tiene alguna dependencia dada de\(y_{i},y_{i}^{\prime }\) y\(\ x.\) El cálculo de variaciones implica variar las funciones\(y_{i}(x)\) hasta un valor estacionario de \(F\)se encuentra que se presume que es un extremo. Se demostró que si los\(y_{i}(x)\) son independientes, entonces el valor extremo de\(F\) conduce a ecuaciones\(n\) independientes de Euler

\[\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime }}=0 \]

donde\(i=1,2,3..n\). Esto puede utilizarse para determinar la forma funcional\( y_{i}(x)\) que asegura que la integral\(F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left[ y(x),y^{\prime }(x);x\right] dx\) sea un valor estacionario, es decir, presumiblemente un valor máximo o mínimo.

Tenga en cuenta que la ecuación de Euler implica derivadas parciales para las variables dependientes\(y_{i},y_{i}^{\prime },\) y la derivada total para la variable independiente\(x.\)

Ecuación integral de Euler

Se demostró que si la función\( \int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left[ y_{i}(x),y_{i}^{\prime }(x);x\right]\) no depende de la variable independiente, entonces la ecuación diferencial de Euler se puede escribir de forma integral. Esta forma integral de la ecuación de Euler es especialmente útil cuando es\(\frac{\partial f}{\partial x}=0,\) decir, cuando\(f\) no depende explícitamente de\(x\), entonces la primera integral de la ecuación de Euler es una constante\[f-y^{\prime }\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}=\text{constant} \]

Sistemas variacionales restringidos

La mayoría de las aplicaciones implican restricciones en el movimiento. Las ecuaciones de restricción se pueden clasificar según si las restricciones son holonómicas o no holonómicas, la dependencia temporal de las restricciones y si las fuerzas de restricción son conservadoras.

Coordenadas generalizadas en cálculo variacional

Se pueden elegir coordenadas generalizadas independientes que sean perpendiculares a las fuerzas de restricción rígidas y, por lo tanto, la restricción no contribuye a minimizar la funcionalidad. Es decir, las restricciones se incrustan en las coordenadas generalizadas y así las restricciones pueden ignorarse al derivar la solución variacional.

Conjunto mínimo de coordenadas generalizadas

Si las restricciones son holonómicas, entonces las ecuaciones\(m\) holonómicas de restricción pueden usarse para transformar las coordenadas generalizadas\(n\) acopladas en variables generalizadas\(s=n-m\) independientes\(q_{i},q_{i}^{\prime }\). El método de coordenadas generalizadas utiliza entonces las ecuaciones de Euler para determinar estas coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes. \[\frac{\partial f}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial q_{i}^{\prime }}=0 \]

Multiplicadores de Lagrange para restricciones holonómicas

El enfoque de multiplicadores Lagrange para\(n\) variables, más ecuaciones\(m\) holonómicas de restricción, determina todas las\(N + m \) incógnitas para el sistema. Las fuerzas holonómicas de restricción que actúan sobre las\(N\) variables, están relacionadas con los términos multiplicadores de Lagrange\(\lambda_k(x)\frac{\partial g_k}{\partial y_i})\) que se introducen en las ecuaciones de Euler.

Es decir,

\[ \frac{\partial f}{\partial y_i}- \frac{d f}{d x} \frac{\partial f}{\partial y^\prime_i} + \sum_k^m\lambda_k(x)\frac{\partial g_k}{\partial y_i}\]

donde las ecuaciones holonómicas de restricción están dadas por

\[g_k(y_i;x)=0\]

La ventaja de utilizar el enfoque multiplicador Lagrange es que el procedimiento variacional determina simultáneamente tanto las ecuaciones de movimiento para las\(N\) variables más las fuerzas de\(m\) restricción que actúan sobre el sistema.