6.3: Ecuaciones de Lagrange a partir del principio de d'Alembert

Principio de trabajo virtual de D'alembert

El Principio de Trabajo Virtual proporciona una base para una derivación rigurosa de la mecánica lagrangiana. Bernoulli introdujo el concepto de desplazamiento virtual infinitossimal de un sistema mencionado en el capítulo\(5.9.1\). Esto se refiere a un cambio en la configuración del sistema como resultado de cualquier cambio instantáneo arbitrario infinitossimal de las coordenadas\(\delta \mathbf{r}_{i},\) que es consistente con las fuerzas y restricciones impuestas al sistema en el instante\(t\). El símbolo de Lagrange\(\delta\) se utiliza para designar un desplazamiento virtual que se llama “virtual” para implicar que no hay cambio en el tiempo\(t\), es decir\(\delta t=0\). Esto lo distingue de un desplazamiento real\(d\mathbf{r} _{i}\) del cuerpo\(i\) durante un intervalo\(dt\) de tiempo en el que las fuerzas y restricciones pueden cambiar.

Supongamos que el sistema de\(n\) partículas está en equilibrio, es decir, la fuerza total sobre cada partícula\(i\) es cero. El trabajo virtual realizado por la fuerza que\(\mathbf{F}_{i}\) se mueve una distancia\(\delta \mathbf{r}_{i}\) viene dado por el producto punto\(\mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}\). Para el equilibrio, la suma de todos estos productos para los\(N\) cuerpos también debe ser cero

\[ \label{6.18}\sum_{i}^{N}\mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=0\]

La descomposición de la fuerza\(\mathbf{F}_{i}\) sobre la partícula\(i\) en fuerzas aplicadas\(\mathbf{F}_{i}^{A}\) y fuerzas de restricción\(\mathbf{f}_{i}^{C}\) da

\[\label{6.19}\sum_{i}^{N}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}+\sum_{i}^{N} \mathbf{f}_{i}^{C}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=0\]El segundo término en la Ecuación\ ref {6.19} puede ignorarse si el trabajo virtual debido a las fuerzas de restricción es cero. Esto es rigurosamente cierto para los cuerpos rígidos y es válido para cualquier fuerza de restricción donde las fuerzas de restricción son perpendiculares a la superficie de restricción y el desplazamiento virtual es tangente a esta superficie. Así, si las fuerzas de restricción no funcionan, entonces\ ref {6.19} se reduce a

\[\label{6.20}\sum_{i}^{N}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=0\]

Esta relación es el Principio de Trabajo Virtual Estático de Bernoulli y se utiliza para resolver problemas en la estática.

Bernoulli introdujo la dinámica mediante el uso de la Ley de Newton para relacionar la fuerza y el impulso.

\[\label{6.21}\mathbf{F}_{i}=\mathbf{ \dot{p}}_{i}\]

La ecuación\ ref {6.21} se puede reescribir como\[\mathbf{F}_{i}-\mathbf{\dot{p}}_{i}=0\label{6.22}\]

En 1742, D'Alembert desarrolló el Principio de Trabajo Virtual Dinámico en la forma

\[\sum^N_i (\mathbf{F}_i-\mathbf{\dot{p}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \label{6.23}\]

Usando ecuaciones\ ref {6.19} más\ ref {6.23} da

\[\sum^N_i (\mathbf{F}^A_i-\mathbf{\dot{p}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum^N_i (\mathbf{f}^C_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \label{6.24}\]

Para el caso especial donde las fuerzas de restricción son cero, entonces la Ecuación\ ref {6.24} se reduce al Principio de d'Alembert

\[\label{6.25}\sum_{i}^{N}(\mathbf{F}_{i}^{A}-\mathbf{ \dot{p}}_{i})\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=0\]

El Principio de D'alembert, por un golpe de genio, transforma hábilmente el principio del trabajo virtual del reino de la estática a la dinámica. La aplicación del trabajo virtual a la estática conduce principalmente a ecuaciones algebraicas entre las fuerzas, mientras que el principio de d'Alembert aplicado a la dinámica conduce a ecuaciones diferenciales.

Transformación a coordenadas generalizadas

En los sistemas mecánicos clásicos las coordenadas\(\delta \mathbf{r}_{i}\) generalmente no son independientes debido a las fuerzas de restricción y la energía de fuerza de restricción contribuye a la Ecuación\ ref {6.24}. Estos problemas se pueden eliminar expresando el Principio de d'Alembert en términos de desplazamientos virtuales de coordenadas generalizadas\(n\) independientes\(q_{i \text{ }}\) del sistema para el que el término fuerza de restricción\(\sum_{i}^{n} \mathbf{f}_{i}^{C}\cdot \delta \mathbf{q}_{i}=0\). Entonces los coeficientes variacionales individuales\(\delta q_{i}\) son independientes y\((\mathbf{F} _{i}^{A}-\mathbf{\dot{p}}_{i})\cdot \delta \mathbf{q}_{i}=0\) pueden equipararse a cero por cada valor de\(i\).

La transformación del sistema\(N\) -body a coordenadas generalizadas\(n\) independientes se\(q_{k}\) puede expresar como

\[\label{6.26}\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{i}(q_{1},q_{2},q_{3} \dots ,q_{n},t)\]

Suponiendo coordenadas\(n\) independientes, entonces la velocidad se\(\mathbf{v}_{i}\) puede escribir en términos de coordenadas generales\(q_{k}\) usando la regla de cadena para la diferenciación parcial.

\[\label{6.27}\mathbf{v}_{i}\equiv \frac{d\mathbf{r}_{i}}{dt}=\sum_{j}^{n}\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}}\dot{q}_{j}+\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial t}\]

El desplazamiento virtual arbitrario\(\delta \mathbf{r}_{i}\) puede estar relacionado con el desplazamiento virtual de la coordenada generalizada\(\delta q_{j}\) mediante

\[\label{6.28}\delta \mathbf{r}_{i}=\sum_{j}^{n}\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j}\]

Obsérvese que por definición, un desplazamiento virtual considera únicamente desplazamientos de las coordenadas, y no\(\delta t\) se implica variación de tiempo.

Las transformaciones anteriores pueden ser utilizadas para expresar el principio dinámico de d'Alembert del trabajo virtual en coordenadas generalizadas. Así el primer término en el Principio Dinámico de d'Alembert,\ ref {6.25} se convierte

\[\label{6.29}\sum_{i}^{n}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=\sum_{i,j}^{n} \mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j}=\sum_{j}^{n}Q_{j}\delta q_{j}\]

donde\(Q_{j}\) se llaman componentes de la fuerza generalizada, ¹ definida como

\[\label{6.30}Q_{j}\equiv \sum_{i}^{n}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\]

Tenga en cuenta que así como las coordenadas generalizadas no\(q_{j}\) necesitan tener las dimensiones de longitud, así\(Q_{j}\) no necesariamente tienen las dimensiones de fuerza, sino que el producto\(Q_{j}\delta q_{j}\) debe tener las dimensiones de trabajo. Por ejemplo,\(Q_{j}\) podría ser torque y\(\delta q_{j}\) podría ser el ángulo de rotación infinitossimal correspondiente.

El segundo término en el Principio de d'Alembert\ ref {6.25} se puede transformar usando la ecuación\ ref {6.28}

\[\label{6.31}\sum_{i}^{n}\mathbf{\dot{p}}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=\sum_{i}^{n}m_{i} \mathbf{\ddot{r}}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=\left( \sum_{i}^{n}m_{i} \mathbf{\ddot{r}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}} \right) \delta q_{j}\]

El lado derecho de\ ref {6.31} se puede reescribir como

\[\label{6.32}\left( \sum_{i}^{n}m_{i}\mathbf{\ddot{r}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r} _{i}}{\partial q_{j}}\right) \delta q_{j}=\sum_{i}^{n}\left\{ \frac{d}{dt} \left( m_{i}\mathbf{\dot{r}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}}\right) -m_{i}\mathbf{\dot{r}}_{i}\cdot \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right) \right\} \delta q_{j}\]Tenga en cuenta que la ecuación\ ref {6.27} da que

\[\label{6.33}\frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial \mathbf{r }_{i}}{\partial q_{j}}\]

por lo tanto, el primer término a la derecha en\ ref {6.32} puede escribirse como

\[\label{6.34}\frac{d}{dt}\left( m_{i}\mathbf{\dot{r}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r} _{i}}{\partial q_{j}}\right) =\frac{d}{dt}\left( m_{i}\mathbf{v}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right)\]

El segundo término de la derecha en\ ref {6.32} puede ser reescrito intercambiando el orden de la diferenciación con respecto a\(t\) y\(q_{j}\)

\[\label{6.35}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right) = \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial q_{j}}\]

Sustituyendo\ ref {6.34} y\ ref {6.35} en\ ref {6.32} da

\[\label{6.36}\sum_{i}^{n}\mathbf{\dot{p}}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}=\left( \sum_{i}^{n}m_{i}\mathbf{\ddot{r}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}}\right) \delta q_{j}=\sum_{i}^{N}\left\{ \frac{d}{dt}\left( m_{i}\mathbf{v}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \right) -m_{i}\mathbf{v}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial q_{j}}\right\} \delta q_{j}\]Insertar\ ref {6.29} y\ ref {6.36} en el Principio de d'Alembert\ ref {6.25} conduce a la relación

\[\label{6.37}\sum_{i}^{n}(\mathbf{F}_{i}^{A}-\mathbf{\dot{p}}_{i})\cdot \delta \mathbf{r} _{i}=-\sum_{j}^{N}\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial \dot{q }_{j}}\left( \sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}\right) \right) -\frac{ \partial }{\partial q_{j}}\left( \sum_{i}^{N}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} \right) -Q_{j}\right\} \delta q_{j}=0\]

El\(\sum_{i}^{n}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}\) término se puede identificar con la energía cinética del sistema\(T\). Así D'alembert Principio reduce a la relación

\[\label{6.38}\sum_{j}^{N}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}\right] \delta q_{j}=0\]

Para las coordenadas cartesianas\(T\) es una función únicamente de las velocidades\((\dot{x}, \dot{y},\dot{z})\) y por lo tanto el término\(\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=0.\) Sin embargo, como se discute en el apéndice\(19.3\), para las coordenadas curvilíneas\(\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\neq 0\) debido a la curvatura de las coordenadas como se ilustra para las coordenadas polares donde\(\mathbf{v=}\dot{r} \mathbf{\hat{r}}+r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}\).

\[\label{6.39}\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right\} =Q_{j}\]

donde\(n\geq j\geq 1\). Es decir, esto lleva a ecuaciones de movimiento de\(n\) Euler-Lagrange para las fuerzas generalizadas\(Q_{j}\). Como se discute en el capítulo\(5.8,\) cuando se aplican las fuerzas de restricción\(m\) holonómicas, es posible reducir el sistema a coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes para las que se aplica la Ecuación\ ref {6.25}.

En\(1687\) Leibniz propuso minimizar el tiempo integral de su “vis viva”, lo\(2T.\) que equivale a Es decir,

\[\label{6.40}\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}Tdt=0\]

La ecuación variacional\ ref {6.39} logra la minimización de la Ecuación\ ref {6.40}. Es notable que Leibniz anticipó el concepto variacional básico previo al nacimiento de los desarrolladores de la mecánica lagrangiana, es decir, d'Alembert, Euler, Lagrange y Hamilton.

Lagrangiano

El manejo de fuerzas\(Q_{j}\) generalizadas conservadoras y no conservadoras se logra mejor asumiendo que la fuerza generalizada\(Q_{j}=\sum_{i}^{n}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \frac{\partial \mathbf{\bar{r}}_{i} }{\partial q_{j}}\) puede dividirse en un término conservador independiente de la velocidad, que puede expresarse en términos del gradiente de un potencial escalar,\(-\mathbf{\nabla }U_{i},\) más un excluyó la fuerza generalizada\(Q_{j}^{EX}\) que contiene las fuerzas no conservadoras, dependientes de la velocidad y todas las fuerzas de restricción no incluidas explícitamente en el potencial\(U_{j}\). Es decir,

\[\label{6.41}Q_{j}=-\mathbf{\nabla }U_{j}+Q_{j}^{EX}\]

Insertar\ ref {6.41} en\ ref {6.38}, y asumiendo que el potencial\(U\) es independiente de la velocidad, permite que\ ref {6.38} se reescriba como

\[\label{6.42}\sum_{j}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial (T-U)}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}^{EX}\right] \delta q_{j}=0\]

La definición estándar del lagrangiano es

\[\label{6.43}L\equiv T-U\]

entonces\ ref {6.42} puede escribirse como\[\label{6.44}\sum_{j}^{N}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}^{EX} \right] \delta q_{j}=0\]

Tenga en cuenta que si todas las coordenadas generalizadas son independientes, entonces los términos de corchetes son cero para cada valor de\(j\), lo que conduce a las ecuaciones generales de movimiento de Euler-Lagrange.

\[\label{6.45}\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =Q_{j}^{EX}\]

donde\(n\geq j\geq 1\).

El capítulo\(6.5.3\) mostrará que las fuerzas de restricción holonómicas pueden ser factorizadas a partir del término de fuerza generalizada\(Q_{j}^{EX}\) que simplifica la derivación de las ecuaciones de movimiento utilizando la mecánica lagrangiana. Las ecuaciones generales de movimiento de Euler-Lagrange se utilizan ampliamente en la mecánica clásica porque las fuerzas conservadoras juegan un papel ubicuo en la mecánica clásica.

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¹ Esta prueba, más la notación, concuerdan con la utilizada por Goldstein [Go50] y por otros textos sobre mecánica clásica.