6.6: Aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a la mecánica clásica

El principio de trabajo virtual de D'Alembert se ha utilizado para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, que también satisfacen el Principio de Hamilton, y el argumento de plausibilidad newtoniana. Estos implican que el camino real tomado en el espacio de configuración\((q_{i},\overset{.}{q_{i}},t)\) es el que minimiza la integral de acción\(\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{j}, \overset{.}{q_{j}};t)dt.\) Como consecuencia, las ecuaciones de Euler para el cálculo de variaciones conducen a las ecuaciones de Lagrange de movimiento.

\[\label{6.60} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right\} \equiv \Lambda_j L =\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC} \]

para\(n\) variables, con\(m\) ecuaciones de restricción. \(Q_{j}^{EXC}\)Las fuerzas generalizadas no se incluyen en el enfoque conservador, energía potencial\(U,\) o multiplicadores Lagrange para ecuaciones holonómicas de restricción. ¹

El siguiente es un procedimiento lógico para aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la mecánica clásica.

1) Seleccione un conjunto de coordenadas generalizadas independientes:

Seleccione un conjunto óptimo de coordenadas generalizadas independientes como se describe en el capítulo\(6.5.1\). El uso de coordenadas generalizadas siempre es ventajoso ya que incorporan las restricciones, y pueden reducir el número de incógnitas, las cuales simplifican el uso de la mecánica lagrangiana

2) Partición de las fuerzas activas:

Las fuerzas activas deben dividirse en los siguientes tres grupos:

1. Fuerzas conservadoras de un solo cuerpo más la fuerza electromagnética dependiente de la velocidad que puede caracterizarse por el potencial escalar\(U\), que es absorbido por el lagrangiano. Las fuerzas gravitacionales más la fuerza electromagnética dependiente de la velocidad pueden ser absorbidas en el potencial\(U\) como se discute en el capítulo\(6.10\). Este enfoque es, con mucho, la forma más fácil de dar cuenta de tales fuerzas en la mecánica lagrangiana.
2. Las fuerzas de restricción holonómicas proporcionan relaciones algebraicas que acoplan algunas de las coordenadas generalizadas. Este acoplamiento se puede utilizar para reducir el número de coordenadas generalizadas utilizadas, o para determinar estas fuerzas de restricción holonómicas utilizando el enfoque multiplicador de Lagrange.
3. Las fuerzas generalizadas proporcionan un mecanismo para introducir fuerzas de restricción no conservadoras y no holonómicas en la mecánica lagrangiana. Por lo general, las fuerzas generales se utilizan para introducir fuerzas disipativas.

Los sistemas típicos pueden involucrar una mezcla de las tres categorías de fuerzas activas. Por ejemplo, los sistemas mecánicos a menudo incluyen la gravedad, introducida como potencial, las fuerzas de restricción holonómicas se determinan usando multiplicadores Lagrange y las fuerzas disipativas se incluyen como fuerzas generalizadas.

3) Conjunto mínimo de coordenadas generalizadas:

La capacidad de integrar fuerzas de restricción directamente en las coordenadas generalizadas es una tremenda ventaja que disfrutan los enfoques variacionales lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica clásica. Si no se requieren las fuerzas de restricción, entonces la elección de un conjunto mínimo de coordenadas generalizadas reduce significativamente el número de ecuaciones de movimiento que deben resolverse.

4) Derivar el Lagrangiano:

El lagrangiano se deriva en términos de las coordenadas generalizadas e incluyendo las fuerzas conservadoras que están enterradas en el potencial escalar\(U.\)

5) Derivar las ecuaciones de movimiento:

La ecuación\ ref {6.60} se resuelve para determinar las coordenadas\(n\) generalizadas, más los multiplicadores\(m\) Lagrange que caracterizan las fuerzas de restricción holonómicas, más las fuerzas generalizadas que se incluyeron. Las fuerzas de restricción holonómicas se dan luego evaluando los\(\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\) términos para las fuerzas\(m\) holonómicas.

En resumen, en Lagrangian la mecánica se basa en energías que son escalares en contraste con la mecánica newtoniana que se basa en fuerzas vectoriales e impulso. Como consecuencia, la mecánica de Lagrange permite el uso de cualquier conjunto de coordenadas generalizadas independientes, que no tienen que ser ortogonales, y pueden tener unidades muy diferentes para diferentes variables. Las coordenadas generalizadas pueden incorporar las correlaciones introducidas por las fuerzas de restricción.

Las fuerzas activas se dividen en las tres categorías siguientes;

1. Las fuerzas conservadoras independientes de la velocidad se toman en cuenta utilizando potenciales escalares\(U_{i}\).
2. Las fuerzas de restricción holonómicas se pueden determinar usando multiplicadores Lagrange.
3. Las restricciones no holonómicas requieren el uso de fuerzas generalizadas\(Q_{j}^{EXC}\).

El uso del concepto de potenciales escalares es una forma trivial y poderosa de incorporar fuerzas conservadoras en la mecánica lagrangiana. El enfoque de multiplicadores Lagrange requiere el uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange para las\(n+m\) coordenadas, pero determina tanto las fuerzas de restricción holonómicas como las ecuaciones de movimiento simultáneamente. Las restricciones no holonómicas y las fuerzas disipativas pueden incorporarse a la mecánica lagrangiana mediante el uso de fuerzas generalizadas que amplían el alcance de la mecánica lagrangiana.

Tenga en cuenta que las ecuaciones de movimiento resultantes del enfoque algebraico de Lagrange-Euler son las mismas ecuaciones de movimiento obtenidas usando mecánica newtoniana. Sin embargo, el lagrangiano es un escalar que facilita la rotación en el marco de referencia más conveniente. Esto puede simplificar enormemente la determinación de las ecuaciones de movimiento cuando se aplican fuerzas de restricción. Como se discutió en el capítulo\(17\), los enfoques variacionales lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica son la única manera viable de manejar la mecánica relativista, estadística y cuántica.

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² La ecuación diferencial de Euler es omnipresente en la mecánica lagrangiana. Así, por brevedad, es conveniente definir el concepto del operador lineal de Lagrange\(\Lambda_j \), como se describe en la tabla\(19.6.1\).

\[\Lambda_j \equiv \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial}{\partial q_j}\]

donde\(\Lambda_j\) opera en el Lagrangiano\(L\). Entonces las ecuaciones de Euler se pueden escribir de forma compacta en la forma\(\Lambda_jL = 0\).