6.10: Fuerza Lorentz dependiente de la velocidad

La fuerza de Lorentz en el electromagnetismo es inusual ya que es una fuerza dependiente de la velocidad, además de ser una fuerza conservadora que puede tratarse utilizando el concepto de potencial. Es decir, la fuerza Lorentz es

\[\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]

Es interesante usar las ecuaciones de Maxwell y la mecánica lagrangiana para demostrar que la fuerza de Lorentz puede ser representada por un potencial conservador en la mecánica lagrangiana.

Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como\[\begin{align} \mathbf{\nabla \cdot E} &\mathbf{=}& \frac{\rho }{\varepsilon _{0}} \\ \mathbf{\nabla \times E+}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &=&0 \notag \\ \mathbf{\nabla \cdot B} &\mathbf{=}&0 \notag \\ \mathbf{\nabla \times B-}\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{ \partial t} &=&\mathbf{J} \notag\end{align}\]

Desde\(\mathbf{\nabla \cdot B=}0\) entonces se desprende del Apéndice\(19.8\) que\(\mathbf{B}\) puede ser representado por el rizo de un potencial vectorial, es\(\mathbf{A,}\) decir

\[\mathbf{B=\nabla \times A}\]

Sustituir esto en\(\mathbf{\nabla \times E+}\frac{\partial \mathbf{B}}{ \partial t}=0\) da que

\[\begin{align} \mathbf{\nabla \times E+}\frac{\partial \mathbf{\nabla \times A}}{\partial t} &=&0 \\ \mathbf{\nabla \times }\left( \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) &=&0 \notag\end{align}\]

Como este rizo es cero, se puede representar por el gradiente de un potencial escalar\(U\)

\[\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=-\mathbf{\nabla }U\]

A continuación se muestra que esta relación corresponde a tomar el gradiente de un potencial\(U\) para la carga\(q\) donde el potencial\(U\) viene dado por la relación

\[U=q(\Phi -\mathbf{A\cdot v)}\]

donde\(\Phi\) está el potencial electrostático escalar. Este potencial escalar se\(U\) puede emplear en las ecuaciones de Lagrange usando el Lagrangiano

\[L=\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}-q(\Phi -\mathbf{A\cdot v)} \label{6.67}\]

La fuerza de Lorentz se puede derivar de este Lagrangiano considerando la ecuación de Lagrange para la coordenada cartesiana\(x\)

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x} =0 \label{6.68}\]

Usando el lagrangiano anterior\ ref {6.67} da

\[m\ddot{x}+q\left[ \frac{dA_{x}}{dt}+\frac{\partial \Phi }{\partial x}-\frac{ \partial \mathbf{A}}{\partial x}\cdot \mathbf{v}\right] =0 \label{6.69}\]

Pero

\[\frac{dA_{x}}{dt}=\frac{\partial A_{x}}{\partial t}+\frac{\partial A_{x}}{ \partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_{x}}{\partial z}\dot{z}\label{6.70}\]

y

\[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}\cdot \mathbf{v=}\frac{\partial A_{x}}{ \partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\dot{z}\label{6.71}\]

Insertar ecuaciones\ ref {6.70} y\ ref {6.71} en\ ref {6.69} da

\[F_{x}=m\ddot{x}=q\left[ \left( -\frac{\partial \Phi }{\partial x}-\frac{ \partial A_{x}}{\partial t}\right) +\left( \frac{\partial A_{y}}{\partial x}- \frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \dot{y}-\left( \frac{\partial A_{x} }{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right) \dot{z}\right] =q \left[ \mathbf{E+v}\times \mathbf{B}\right] _{x}\label{6.72}\]

Las expresiones correspondientes se pueden obtener para\(F_{y}\) y\(F_{z}\). Así la fuerza total es la conocida fuerza Lorentz

\[\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]Esto ha demostrado que el potencial escalar electromagnético

\[U=q(\Phi -\mathbf{A\cdot v)}\]

satisface las ecuaciones de Maxwell, da la fuerza Lorentz, y puede ser absorbida por el lagrangiano. Nótese que la fuerza de Lorentz dependiente de la velocidad es conservadora ya que\(\mathbf{E}\) es conservadora, y porque\((\mathbf{v} \times \mathbf{B\times v)}dt\mathbf{=}0,\) por lo tanto la fuerza magnética no funciona ya que es perpendicular a la trayectoria. La fuerza conservadora de Lorentz dependiente de la velocidad es una fuerza importante y ubicua que ocupa un lugar destacado en muchas ramas de la ciencia. Se discutirá más a fondo para el caso del movimiento relativista en el capítulo\(16.6\).