6.11: Fuerzas dependientes del tiempo

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Todos los ejemplos discutidos en este capítulo han asumido que los lagrangianos son independientes del tiempo. Los sistemas matemáticos donde las ecuaciones diferenciales ordinarias no dependen explícitamente de la variable independiente, que en este caso es el tiempo\(t\), se denominan sistemas autónomos. Los sistemas que tienen ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento dinámico que tienen coeficientes dependientes del tiempo se denominan sistemas no autónomos.

En principio es trivial incorporar el comportamiento dependiente del tiempo en las ecuaciones del movimiento introduciendo ya sea una fuerza generalizada dependiente del tiempo\(Q(r,t)\), o permitiendo que el lagrangiano sea dependiente del tiempo. Por ejemplo, en el problema del cohete la masa depende del tiempo. En algunos casos, las fuerzas dependientes del tiempo pueden ser representadas por una energía potencial dependiente del tiempo en lugar de usar una fuerza generalizada. Las soluciones para sistemas no autónomos pueden ser considerablemente más difíciles de obtener, y pueden involucrar regiones donde el movimiento es estable y otras regiones donde el movimiento es inestable o caótico similar al comportamiento discutido en el capítulo\(4\). El siguiente caso de un péndulo simple, cuyo soporte está experimentando un movimiento oscilatorio vertical, ilustra las complejidades que pueden ocurrir para los sistemas que involucran fuerzas dependientes del tiempo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Plane pendulum hanging from a vertically-oscillating support

Considera un péndulo plano que tenga una masa\(M\) sujeta a una varilla rígida sin masa de longitud\(L\) que está en ángulo\(\theta (t)\) con el campo gravitacional vertical\(g\). El péndulo está unido a un soporte que está sujeto a una fuerza oscilatoria vertical\(F\) tal que la posición vertical\(y\) del soporte es

\[\begin{aligned} \ddot{\theta}+\left( \frac{g}{L}+\frac{\ddot{y}}{L}\right) \theta &=&0 \\ \ddot{y}+g &=&\frac{F}{M}\end{aligned}\]

Sustituir\(\ddot{y}=-A\omega ^{2}\cos \omega t\) en estas ecuaciones da\[\begin{aligned} \ddot{\theta}+\left( \frac{g}{L}-\frac{A\omega ^{2}}{L}\cos \omega t\right) \theta &=&0 \\ M\left( g-A\omega ^{2}\cos \omega t\right) &=&F\end{aligned}\]

Estas corresponden a oscilaciones armónicas estables sobre\(\theta \approx 0\) si el término del corchete es positivo, y al movimiento inestable si el corchete es negativo. Así, para pequeña amplitud la oscilación alrededor\(\theta \approx 0\) del movimiento del sistema puede ser inestable siempre que el soporte sea negativo, es decir, cuando el comportamiento de aceleración\(A\omega ^{2}\cos \omega t>g\) y resonancia puede ocurrir acoplando el periodo del péndulo y la frecuencia de forzamiento\(\omega\).

\[\begin{aligned} \ddot{\theta}-\left( \frac{g}{L}-\frac{A\omega ^{2}}{L}\cos \omega t\right) \theta &=&0 \\ m\left( g-A\omega ^{2}\cos \omega t\right) &=&F\end{aligned}\]

El péndulo invertido tiene oscilaciones estables sobre\(\theta \approx \pi\) si el corchete es negativo, es decir, si\(A\omega ^{2}\cos \omega t>g.\) Esto ilustra que los sistemas dinámicos no autónomos pueden implicar un movimiento estable o inestable.