6.12: Fuerzas Impulsivas

Los cuerpos en colisión suelen involucrar grandes fuerzas impulsivas que actúan por poco tiempo. Como se discute en\(2.12.8,\) el capítulo, el tratamiento de las fuerzas impulsivas o pares se simplifica enormemente si actúan por un tiempo suficientemente corto como para que el desplazamiento durante el impacto pueda ser ignorado, aunque el cambio instantáneo en las velocidades pueda ser grande. La simplicidad se logra tomando el tiempo integral de las ecuaciones de Euler-Lagrange sobre la duración\(\tau\) del impulso y asumiendo\(\tau \rightarrow 0\).

El impacto del impulso en un sistema se puede manejar de dos maneras. El primer enfoque es utilizar la ecuación de Euler-Lagrange durante el impulso para determinar las ecuaciones de movimiento

\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{ \partial L}{\partial q_{j}}=Q_{j}^{EXC} \label{6.75}\]

donde se introduce la fuerza impulsiva utilizando la fuerza generalizada\(Q_{j}^{EXC}\). Conociendo las condiciones iniciales en\(t,\) el momento las condiciones en el momento\(t+\tau\) son dadas por la integración de la Ecuación\ ref {6.75} a lo largo\(\tau\) de la duración del impulso que da

\[\int_{t}^{t+\tau }\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \right) d\tau -\int_{t}^{t+\tau }\frac{\partial L}{\partial q_{j}}d\tau =\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau \label{6.76}\]

Esta integración determina las condiciones en el tiempo\(t+\tau\) que luego se utilizan como las condiciones iniciales para el movimiento cuando la fuerza impulsiva\(Q_{j}^{EXC}\) es cero.

El segundo enfoque es darse cuenta de que la Ecuación\ ref {6.76} puede ser reescrita en la forma

\[\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) dt=\lim_{\tau \rightarrow 0}\left. \frac{ \partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right\vert _{t}^{t+\tau }=\Delta p_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\left( \left( \frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right) +Q_{j}^{EXC}\right) d\tau \label{6.77}\]

Obsérvese que en el límite que\(\tau \rightarrow 0\) entonces la integral del impulso generalizado\(p_{j}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) simplifica para dar el cambio de impulso generalizado\(\Delta p_{j}\). Además, suponiendo que las fuerzas no impulsivas\(\left( \frac{\partial L}{ \partial q_{j}}\right)\) son finitas e independientes de la fuerza impulsiva instantánea durante la duración infinitossimal\(\tau\), entonces la contribución de las fuerzas no impulsivas\(\int_{t}^{t+\tau }\left( \frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right) d\tau\) durante el impulso puede descuidarse en relación con la gran fuerza impulsiva término;\(\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau\). Por lo tanto, se puede suponer que

\[\Delta p_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau = \tilde{Q}_{j} \label{6.78}\]

donde\(\tilde{Q}_{j}\) está el impulso generalizado asociado a la coordenada\(j=1,2,3,....,n\). Este impulso generalizado puede derivarse de la integral de tiempo de las fuerzas impulsivas\(\mathbf{P}_{i}\) dadas por la ecuación\((2.12.49)\) usando la integral de tiempo de la Ecuación\ ref {6.77}, es decir\[\Delta p_{j}=\tilde{Q}_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau \equiv \lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\sum_{i} \mathbf{P}_{i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}d\tau =\sum_{i}\mathbf{\tilde{P}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}} \label{6.79}\]

Obsérvese que el impulso generalizado\(\tilde{Q}_{j}\) puede ser un impulso traslacional\(\mathbf{\tilde{P}}_{j}\) con la variable traslacional correspondiente\(q_{j},\) o un par impulsivo angular\(\mathbf{\tilde{\tau}}_{j}\) con la variable angular correspondiente\(\phi _{j}\).

Los problemas de fuerza impulsiva generalmente se resuelven en dos etapas. Se utilizan las ecuaciones\ ref {6.76} o\ ref {6.79} para determinar las condiciones del sistema inmediatamente después del impulso. Si\(\tau \rightarrow 0\) entonces el impulso cambia las velocidades generalizadas\(\dot{q}_{j}\) pero no las coordenadas generalizadas\(q_{j}\). El movimiento posterior se determina entonces usando las ecuaciones lagrangianas de movimiento con la fuerza impulsiva generalizada siendo cero, y asumiendo que la condición inicial corresponde al resultado del cálculo del impulso.