6.13: El enfoque lagrangiano versus el newtoniano de la mecánica clásica

Es útil para contrastar las diferencias, y ventajas relativas, de las formulaciones newtoniana y lagrangiana de la mecánica clásica. La formulación newtoniana de fuerza-impulso es de naturaleza vectorial, tiene causa y efecto incrustados en ella. El enfoque lagrangiano se basa en términos de energías cinéticas y potenciales que involucran solo funciones escalares y las ecuaciones de movimiento provienen de una sola función escalar, es decir, lagrangiana. Las propiedades direccionales de las ecuaciones de movimiento provienen del requisito de que la trayectoria esté especificada por el principio de menor acción. Las propiedades direccionales de los vectores en el enfoque newtoniano ayudan en nuestra intuición a la hora de plantear un problema, pero el método lagrangiano es matemáticamente más simple cuando el sistema mecánico es más complejo.

La mayor ventaja de los enfoques variacionales de la mecánica es que la solución de las ecuaciones dinámicas de movimiento puede simplificarse expresando el movimiento en términos de coordenadas generalizadas independientes. Para la mecánica lagrangiana estas coordenadas generalizadas pueden ser cualquier conjunto de variables independientes\(q_{i}\),\(1\leq i\leq n\), donde, más las velocidades correspondientes\(\dot{q}_{i}\). Estas coordenadas generalizadas independientes especifican completamente el potencial escalar y las energías cinéticas utilizadas en el lagrangiano o hamiltoniano. El enfoque variacional permite un arsenal mucho mayor de posibles coordenadas generalizadas que las coordenadas vectoriales típicas utilizadas en la mecánica newtoniana. Por ejemplo, las coordenadas generalizadas pueden ser amplitudes adimensionales para los modos\(N\) normales de los sistemas de osciladores acoplados, o variables de ángulo de acción. Además, se pueden utilizar coordenadas generalizadas muy diferentes para cada una de las\(n\) variables. La tremenda libertad y flexibilidad de la elección de coordenadas generalizadas es importante cuando las fuerzas de restricción están actuando sobre el sistema. Las coordenadas generalizadas permiten ignorar las fuerzas de restricción al incluir condiciones auxiliares para dar cuenta de las restricciones cinemáticas que conducen al movimiento correlacionado. El método Lagrange proporciona una estrategia de resolución de problemas increíblemente consistente y mecanicista para sistemas de muchos cuerpos sujetos a restricciones. Expresadas en términos de coordenadas generalizadas, las ecuaciones de Lagrange se pueden aplicar a una amplia variedad de problemas físicos incluyendo aquellos que involucran campos. La manipulación de cantidades escalares en un espacio de configuración de coordenadas generalizadas puede simplificar enormemente los problemas comparados con estar confinados a un sistema rígido de coordenadas ortogonales caracterizado por el enfoque vectorial newtoniano.

El uso de coordenadas generalizadas en las ecuaciones de movimiento de Lagrange se puede aplicar a una amplia gama de fenómenos físicos, incluida la teoría de campos, como los campos electromagnéticos, que están más allá de la aplicabilidad de las ecuaciones de movimiento de Newton. La superioridad del enfoque lagrangiano en comparación con el enfoque newtoniano para resolver problemas en mecánica es evidente cuando se trata de fuerzas de restricción holonómicas. Las fuerzas de restricción deben conocerse e incluirse explícitamente en las ecuaciones newtonianas de movimiento. Desafortunadamente, se requiere el conocimiento de las ecuaciones de movimiento para derivar estas fuerzas de restricción. Para los sistemas holonómicos restringidos, las ecuaciones de movimiento se pueden resolver directamente sin calcular las fuerzas de restricción utilizando el conjunto mínimo de enfoque de coordenadas generalizadas para la mecánica lagrangiana. Además, el enfoque Lagrange tiene importantes ventajas filosóficas en comparación con el enfoque newtoniano.