6.S: Dinámica Lagrangiana (Resumen)

Argumento newtoniano de plausibilidad para la mecánica lagrangiana

Una justificación para introducir el cálculo de las variaciones a la mecánica clásica se hace evidente cuando se utiliza el concepto de lagrangiano\(L\equiv T-U\) en lo funcional y el tiempo\(t\) es la variable independiente. Se demostró que la ecuación de movimiento de Newton se puede reescribir como

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=F_{q_{i}}^{EX} \label{6.12}\]

donde\(F_{y_{i}}^{EX}\) están las fuerzas excluidas de restricción más cualquier otra fuerza conservadora o no conservadora no incluida en el potencial\(U.\) Esto corresponde a la ecuación de Euler-Lagrange para determinar el mínimo de la integral de tiempo del lagrangiano.

La ecuación\ ref {6.12} se puede escribir como

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( t\right) \frac{\partial g_{k} }{\partial q_{i}}+F_{q_{i}}^{EXC}\label{6.15}\]

donde el término multiplicador de Lagrange representa las fuerzas de restricción holonómicas e\(F_{q_{i}}^{EXC}\) incluye todas las fuerzas adicionales no contabilizadas por el potencial escalar\(U\), o los términos del multiplicador de Lagrange\(F_{q_{i}}^{HC}\). Las fuerzas de restricción se pueden incluir explícitamente como fuerzas generalizadas en el término excluido\(F_{q_{i}}^{EXC}\ \) de la Ecuación\ ref {6.15}.

Principio de D'alembert

Se demostró que el Principio de D'Alembert

\[\sum_{i}^{N}(\mathbf{F}_{i}^{A}-\mathbf{\dot{p}}_{i})\cdot \delta \mathbf{r} _{i}=0 \label{6.25}\]

transforma hábilmente el principio del trabajo virtual del ámbito de la estática a la dinámica. La aplicación del trabajo virtual a la estática conduce principalmente a ecuaciones algebraicas entre las fuerzas, mientras que el principio de d'Alembert aplicado a la dinámica conduce a ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones de Lagrange del Principio de d'Alembert

Después de transformarse en coordenadas generalizadas, el Principio de d'Alembert lleva a

\[\sum_{j}^{N} \left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q} _{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}\right] \delta q_{j}=0\label{6.38}\]

Si todas las\(n\) coordenadas\(q_{j}\) son independientes, entonces Ecuación\ ref {6.38} implica que el término entre corchetes es cero por cada valor individual de\(j\). Es decir, esto implica las ecuaciones básicas de movimiento de Euler-Lagrange.

El manejo de fuerzas\(Q_j\) generalizadas conservadoras y no conservadoras se logra mejor asumiendo que la fuerza generalizada se\(Q_j = \sum^n_i \mathbf{F}_i^A \cdot \frac{\partial \mathbf{\bar{r}}_i}{\partial q_j}\) puede particionar en un término conservador independiente de la velocidad, que se puede expresar en términos del gradiente de un potencial escalar,\(-\nabla U_i\), más un excluyó la fuerza generalizada\(Q^{EX}_j\) que contiene las fuerzas no conservadoras, dependientes de la velocidad y todas las fuerzas de restricción no incluidas explícitamente en el potencial\(U_j\). Es decir,

\[Q_j = -\nabla U_j + Q_j^{EX} \label{6.41}\]

Insertar\ ref {6.41} en\ ref {6.38}, y asumiendo que el potencial\(U\) es independiente de la velocidad, permite que\ ref {6.38} se reescriba como

\[\sum_{j} \left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q} _{j}}\right) -\frac{\partial (T - U)}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}^{EX} \right] \delta q_{j}=0\label{6.42}\]

Expresado en términos del estándar lagrangiano\(L = T - U\) esto da

\[\sum_{j}^{N} \left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}^{EX} \right] \delta q_{j}=0\label{6.44}\]

Tenga en cuenta que la ecuación\ ref {6.44} contiene la ecuación básica de Euler-Lagrange\ ref {6.38} para el caso especial cuando\(U = 0\). Además, tenga en cuenta que si todas las coordenadas generalizadas son independientes, entonces los términos de corchetes son cero para cada valor de\(j\), lo que lleva a las ecuaciones\(n\) generales de movimiento de Euler-Lagrange

\[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} = Q_{j}^{EX} \label{6.45}\]

donde\(n \geq j \geq 1\). La mecánica newtoniana tiene problemas para manejar las fuerzas de restricción porque conducen al acoplamiento de los grados de libertad. La mecánica lagrangiana es más poderosa ya que proporciona las siguientes tres formas de manejar dicho movimiento correlacionado.

1) Conjunto mínimo de coordenadas generalizadas

Si las\(n\) coordenadas\(q_j\) son independientes, entonces el corchete es igual a cero por cada valor de\(j\) en la Ecuación\ ref {6.44}, que corresponde a la ecuación de Euler para cada una de las coordenadas\(n\) independientes. Si las coordenadas\(n\) generalizadas están acopladas por\(m\) restricciones, entonces las coordenadas se pueden transformar en un conjunto mínimo de coordenadas\(s = n − m\) independientes que luego se pueden resolver aplicando la ecuación\ ref {6.45} al conjunto mínimo de coordenadas\(s\) independientes.

2) Enfoque de multiplicadores Lagrange

El método lagrangiano se concentra únicamente en las fuerzas activas, ignorando completamente todas las demás fuerzas internas. En la mecánica lagrangiana las fuerzas generalizadas, correspondientes a cada coordenada generalizada, pueden dividirse de tres maneras

\[Q_{j}=-\nabla U+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC} \nonumber\]

donde las fuerzas conservadoras independientes de la velocidad pueden ser absorbidas en un potencial escalar\(U\), las fuerzas de restricción holonómicas pueden manejarse usando el término multiplicador de Lagrange\(\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k} }{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\), y la parte restante de las fuerzas activas puede ser absorbida en la fuerza generalizada\(Q_{j}^{EXC}\). La energía potencial escalar\(U\) se maneja absorbiéndola en el estándar Lagrangiano\(L=T-U\). Si las fuerzas de restricción son holonómicas, entonces estas fuerzas se manejan fácil y elegantemente mediante el uso de multiplicadores Lagrange. Todas las fuerzas restantes, incluidas las fuerzas disipativas, pueden manejarse incluyéndolas explícitamente en la fuerza generalizada\(Q_{j}^{EXC}\).

La combinación de las dos ecuaciones anteriores da

\[\sum_{j}^{N}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -Q_{j}^{EXC}-\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)\right] \delta q_{j}=0 \label{6.56}\]

El uso de los multiplicadores Lagrange para manejar las fuerzas de\(m\) restricción asegura que todos los\(n\) infinitossimales\(\delta q_{j}\) sean independientes, lo que implica que la expresión en el corchete debe ser cero para cada uno de los\(n\) valores de\(j\). Esto lleva a ecuaciones de\(n\) Lagrange más relaciones de\(m\) restricción

\[\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t) \label{6.60}\]

donde\(j = 1,2,3, \dots n.\)

3) Enfoque de fuerzas generalizadas

Los dos términos de la derecha en\ ref {6.60} pueden entenderse como aquellas fuerzas que actúan sobre el sistema que no son absorbidas en el\(U\) componente potencial escalar del lagrangiano\(L\). Los términos del multiplicador de Lagrange dan\(\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t) \) cuenta de las fuerzas holonómicas de restricción que no están incluidas en el potencial conservador ni en las fuerzas generalizadas\(Q_j^{EXC}\). La fuerza generalizada

\[Q^{EXC}_j = \sum^{n}_i \mathbf{F}^A_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial p_j} \label{6.17}\]

es la suma de los componentes en la\(q_j\) dirección para todas las fuerzas externas que no han sido tomadas en cuenta por el potencial escalar o los multiplicadores Lagrange. Así, la fuerza generalizada no conservadora\(Q^{EXC}_j\) contiene fuerzas de restricción no holonómicas, incluyendo fuerzas disipativas como arrastre o fricción, que no están incluidas o utilizadas en\(U\) los términos del multiplicador de Lagrange para dar cuenta de las fuerzas de restricción holonómicas.

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange en mecánica:

La forma óptima de explotar la mecánica lagrangiana es la siguiente:

1. Seleccione un conjunto de coordenadas generalizadas independientes.
2. Divida las fuerzas activas en tres grupos:
   1. Fuerzas conservadoras de un solo cuerpo
   2. Fuerzas de restricción holonómicas
   3. Fuerzas generalizadas
3. Minimizar el número de coordenadas generalizadas.
4. Derivar el Lagrangiano
5. Derivar las ecuaciones de movimiento

Fuerza Lorentz dependiente de la velocidad:

Por lo general, las fuerzas dependientes de la velocidad no son holonómicas. Sin embargo, el electromagnetismo es un caso especial donde la fuerza de Lorentz dependiente de la velocidad\(\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v\times B})\) puede obtenerse a partir de una función de potencial dependiente de la velocidad\(U(q,\overset{.}{q},t)\). Se demostró que el potencial dependiente de la velocidad

\[U=q\Phi -q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A} \label{6.74} \]

conduce a la fuerza de Lorentz donde\(\Phi\) está el potencial eléctrico escalar y\(\mathbf{A}\) el potencial vectorial.

Fuerzas dependientes del tiempo:

Se demostró que las fuerzas dependientes del tiempo pueden conducir a un movimiento complicado que tiene regiones estables y regiones de movimiento inestables que pueden exhibir caos.

Fuerzas impulsivas:

A generalized impulse \(\tilde{Q}_{j}\) can be derived for an instantaneous impulsive force from the time integral of the impulsive forces \(\mathbf{P} _{i}\) given by equation \((3.12.49)\) using the time integral of equation \((7.2.13)\), that is \[\Delta p_{j}=\tilde{Q}_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau \equiv \lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\sum_{i} \mathbf{F}_{i}^\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}d\tau =\sum_{i}\mathbf{\tilde{P}}_{i}^\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}} \label{6.79}\]

Obsérvese que el impulso generalizado\(\tilde{Q}_{j}\) puede ser un impulso traslacional\(\mathbf{\tilde{P}}_{j}\) con la variable traslacional correspondiente\(q_{j}\) o un par impulsivo angular\(\mathbf{\tilde{T}}_{j}\) con la variable angular correspondiente\(\phi _{j}\).

Comparación de la mecánica newtoniana y lagrangiana:

A diferencia de la mecánica newtoniana, que se basa en conocer todas las fuerzas vectoriales que actúan sobre un sistema, la mecánica lagrangiana puede derivar las ecuaciones de movimiento utilizando coordenadas generalizadas sin requerir el conocimiento de las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema. La mecánica lagrangiana proporciona un enfoque notablemente poderoso e increíblemente consistente para resolver las ecuaciones de movimiento en la mecánica clásica que es especialmente potente para manejar sistemas que están sujetos a restricciones holonómicas.