7.8: Teorema de la energía generalizada

La función Hamilton,\((7.7.6)\) más la ecuación\((7.7.4)\) conducen al teorema de la energía generalizada

\[\frac{dH\left( \mathbf{q,p,}t\right) }{dt}=\frac{dh(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q }},t)}{dt}=\sum_{j}\dot{q}_{j}\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\right] -\frac{\partial L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial t}\]

Tenga en cuenta que para el caso especial donde todas las fuerzas externas\(\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)\right] =0\), entonces

\[\frac{dH}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}\]

Así, el hamiltoniano es independiente del tiempo si ambos \(\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)\right] =0\)y los lagrangianos son independientes del tiempo. Para un sistema cerrado aislado que no tiene fuerzas externas que actúen, entonces el lagrangiano es independiente del tiempo porque las velocidades son constantes, y no hay energía potencial externa. Es decir, el lagrangiano es independiente del tiempo, y

\[\frac{d}{dt}\left[ \sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{ q}_{j}}\right) -L\right] =\frac{dH}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}=0\]

Como consecuencia, la energía hamiltoniana\(H\left( \mathbf{q,p,}t\right) ,\) y generalizada\(h(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\), ambas son constantes de movimiento si la lagrangiana es una constante de movimiento, y si las fuerzas externas no potenciales son cero. Este es un ejemplo del teorema de Noether, donde la simetría de la independencia del tiempo conduce a la conservación de la variable conjugada, que es la energía hamiltoniana o generalizada.