7.9: Energía generalizada y energía total

La energía cinética generalizada, ecuación\((7.6.4)\), puede ser utilizada para escribir el lagrangiano generalizado como

\[L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)=T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)+T_{1}(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)+T_{0}(\mathbf{q},t)-U(\mathbf{q},t)\]

Si la energía potencial\(U\) no depende explícitamente de las velocidades\(\dot{q }_{i}\) o del tiempo, entonces

\[ \label{7.42} p_{j}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial \left( T-U\right) }{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\]

La ecuación\ ref {7.42} se puede usar para escribir la ecuación hamiltoniana\((7.7.6)\), como

\[H\left( \mathbf{q,p,}t\right) =\sum_{i}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial T_{2} }{\partial \dot{q}_{j}}\right) +\sum_{i}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial T_{1}}{\partial \dot{q}_{j}}\right) +\sum_{i}\left( \dot{q}_{j}\frac{ \partial T_{0}}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}} ,t)\]

Usando ecuaciones\((7.6.12)\),\((7.6.13)\),\((7.6.14)\) da que el total generalizado hamiltoniano\(H\left( \mathbf{q,p,}t\right)\) es igual

\[H\left( \mathbf{q,p,}t\right) =2T_{2}+T_{1}-(T_{2}+T_{1}+T_{0}-U)=T_{2}-T_{0}+U \label{7.44}\]

Pero la suma de las energías cinéticas y potenciales es igual a la energía total. Así, la ecuación\ ref {7.44} puede ser reescrita en la forma

\[H\left( \mathbf{q,p,}t\right) =(T+U)-(T_{1}+2T_{0})=E-(T_{1}+2T_{0})\]

Obsérvese que la energía generalizada de Jacobi y la hamiltoniana no equivalen a la energía total\(E\). Sin embargo, en el caso especial donde la transformación es escleronómica, entonces\(T_{1}=T_{0}=0,\) y si la energía potencial\(U\) no depende explícitamente de\(\dot{q}_{i}\), entonces la energía generalizada (hamiltoniana) equivale a la energía total, es decir,\(H=E.\) Reconocimiento de la relación entre el hamiltoniano y la energía total facilita determinar las ecuaciones de movimiento.