7.11: Hamiltoniano para Coordenadas Cíclicas
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Es interesante discutir las propiedades del hamiltoniano para coordenadas cíclicas\(q_{k}\) para las cuales\(\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\). Haciendo caso omiso de los términos del multiplicador externo y Lagrange,
\[\dot{p}_{k}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}=0\]
Es decir, una coordenada cíclica tiene un impulso constante correspondiente tanto\(p_{k}\) para el hamiltoniano como para el lagrangiano. Por el contrario, si no se produce una coordenada generalizada en el hamiltoniano, entonces se conserva el impulso generalizado correspondiente. Las coordenadas cíclicas se discutieron anteriormente cuando se discutieron simetrías y aspectos de conservación-ley del Lagrangiano. Por ejemplo, si los lagrangianos, o hamiltonianos no dependen de una coordenada lineal\(x,\) entonces\(p_{x}\) se conserva. Similarmente para\(\theta\) y Se ha derivado\(p_{\theta }.\) una extensión de este principio para la relación entre la independencia del tiempo y la energía total de un sistema, es decir, el hamiltoniano equivale a la energía total si la transformación a coordenadas generalizadas es independiente del tiempo y el potencial es la velocidad independiente.
Una característica valiosa de la formulación hamiltoniana es que permite la eliminación de variables cíclicas lo que reduce el número de grados de libertad a manejar. Como consecuencia, las variables cíclicas se denominan variables ignorables en la mecánica hamiltoniana. Por ejemplo, considere que el lagrangiano tiene una variable cíclica\(q_{n}\). En consecuencia, el lagrangiano no depende\(q_{n}\), y así puede escribirse como
\[ L=L(q_{1},...,q_{n-1};\dot{q}_{1},...,\dot{q}_{n};t). \nonumber\]
El lagrangiano todavía contiene velocidades\(n\) generalizadas, por lo que todavía hay que tratar\(n\) grados de libertad aunque un grado de libertad\(q_{n}\) sea cíclico. Sin embargo, en la formulación hamiltoniana, solo se requieren\(n-1\) grados de libertad ya que el impulso para el grado cíclico de libertad es una constante\( p_{n}=\alpha .\) Así el hamiltoniano puede escribirse como
\[ H=H(q_{1},...,q_{n-1};p_{1},....,p_{n-1};\alpha ;t). \nonumber\]
es decir, el hamiltoniano incluye sólo\(n-1\) grados de libertad. Así, la dimensión del problema se ha reducido en uno ya que se eliminan las variables cíclicas\((q_{n},p_{n})\) conjugadas (ignorables). La mecánica hamiltoniana puede reducir significativamente la dimensión del problema cuando el sistema involucra varias variables cíclicas. Esto contrasta con la situación para el enfoque lagrangiano como se discute en los capítulos\(8\) y\(15\).