7.13: Hamiltoniano en la Mecánica Clásica

El hamiltoniano se definió por ecuación\((7.7.6)\) durante la discusión de la invarianza temporal y la conservación de energía. El hamiltoniano tiene una importancia mucho más profunda para la física que lo que implica la definición ad hoc dada por la ecuación\((7.7.6)\). Esto se relaciona con el hecho de que el hamiltoniano está escrito en términos de la coordenada fundamental\( q_{i}\) y su impulso generalizado\(p_{i}\) definido por la ecuación\((7.2.3)\).

Es más conveniente escribir las coordenadas\(n\) generalizadas\(q_{i},\) más su impulso generalizado\(p_{i},\) como vectores\(\mathbf{q}\equiv (q_{1},q_{2},..q_{n})\), e.g\(\mathbf{p}\equiv (p_{1},p_{2},..p_{n})\). El momento generalizado conjugado a la coordenada\(q_{i}\), definido por\((7.2.3)\), luego se puede escribir en la forma\[p_{i}= \frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},t)}}{\partial \dot{q}_{i}}\]

Sustituir esta definición del impulso generalizado por el hamiltoniano definido en\((7.7.6)\), y expresarlo en términos de la coordenada\(\mathbf{q}\) y su momento generalizado conjugado\(\mathbf{p}\), conduce a

\[\begin{aligned} H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) &= \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\mathbf{ q},\mathbf{\dot{q}},t) \\ &= \mathbf{p\cdot \dot{q}-}L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\end{aligned}\]

Tenga en cuenta que el producto escalar\(\mathbf{p\cdot \dot{q}=}\sum_{i}p_{i}\dot{q} _{i}\) es igual\(2T\) para sistemas que son escleronómicos y cuando el potencial es independiente de la velocidad.

El rasgo crucial del hamiltoniano es que se expresa como es\(H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) ,\) decir, es una función de las coordenadas\(n\) generalizadas\(\mathbf{q}\) y sus momentos conjugados\(\mathbf{p}\), que se toman como independientes, además de la variable independiente,\(t\). Esto contrasta con el Lagrangiano\(L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\) que es una función de las coordenadas\(n\) generalizadas\(q_{j}\), las velocidades correspondientes\(\dot{q}_{j}\), y\(t.\) el tiempo Las velocidades\( \mathbf{\dot{q}}\) son las derivadas de tiempo de las coordenadas\(\mathbf{q}\) y por lo tanto estas están relacionadas. En física, las coordenadas conjugadas fundamentales son\((\mathbf{q,p}),\) cuáles son las coordenadas subyacentes al hamiltoniano. Esto contrasta con\((\mathbf{q,\dot{q}})\) cuáles son las coordenadas que subyacen al lagrangiano. Así, el hamiltoniano es más fundamental que el lagrangiano y es una razón por la que la mecánica hamiltoniana, más que la mecánica lagrangiana, se utilizó como base para el desarrollo de la mecánica cuántica y estadística.

La mecánica hamiltoniana se derivará de otras dos formas. Capítulo\(8\) utiliza la transformación Legendre entre las variables conjugadas\(\left( \mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t\right)\) y\(\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right)\) donde la coordenada generalizada\(\mathbf{q}\) y su impulso generalizado conjugado,\(\mathbf{p}\) son independientes. Esto demuestra que la mecánica hamiltoniana se basa en los mismos principios variacionales que los utilizados para derivar la mecánica lagrangiana. Capítulo\(9\) deriva la mecánica hamiltoniana directamente de la acción Principio de menos de Hamilton. Capítulo\(8\) introducirá la mecánica algebraica hamiltoniana, que se basa en la hamiltoniana. Las poderosas capacidades proporcionadas por los mecánicos hamiltonianos se describirán en el capítulo\(15\).