Saltar al contenido principal

# 7.13: Hamiltoniano en la Mecánica Clásica

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

El hamiltoniano se definió por ecuación$$(7.7.6)$$ durante la discusión de la invarianza temporal y la conservación de energía. El hamiltoniano tiene una importancia mucho más profunda para la física que lo que implica la definición ad hoc dada por la ecuación$$(7.7.6)$$. Esto se relaciona con el hecho de que el hamiltoniano está escrito en términos de la coordenada fundamental$$q_{i}$$ y su impulso generalizado$$p_{i}$$ definido por la ecuación$$(7.2.3)$$.

Es más conveniente escribir las coordenadas$$n$$ generalizadas$$q_{i},$$ más su impulso generalizado$$p_{i},$$ como vectores$$\mathbf{q}\equiv (q_{1},q_{2},..q_{n})$$, e.g$$\mathbf{p}\equiv (p_{1},p_{2},..p_{n})$$. El momento generalizado conjugado a la coordenada$$q_{i}$$, definido por$$(7.2.3)$$, luego se puede escribir en la forma$p_{i}= \frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},t)}}{\partial \dot{q}_{i}}$

Sustituir esta definición del impulso generalizado por el hamiltoniano definido en$$(7.7.6)$$, y expresarlo en términos de la coordenada$$\mathbf{q}$$ y su momento generalizado conjugado$$\mathbf{p}$$, conduce a

\begin{aligned} H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) &= \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\mathbf{ q},\mathbf{\dot{q}},t) \\ &= \mathbf{p\cdot \dot{q}-}L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\end{aligned}

Tenga en cuenta que el producto escalar$$\mathbf{p\cdot \dot{q}=}\sum_{i}p_{i}\dot{q} _{i}$$ es igual$$2T$$ para sistemas que son escleronómicos y cuando el potencial es independiente de la velocidad.

El rasgo crucial del hamiltoniano es que se expresa como es$$H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) ,$$ decir, es una función de las coordenadas$$n$$ generalizadas$$\mathbf{q}$$ y sus momentos conjugados$$\mathbf{p}$$, que se toman como independientes, además de la variable independiente,$$t$$. Esto contrasta con el Lagrangiano$$L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)$$ que es una función de las coordenadas$$n$$ generalizadas$$q_{j}$$, las velocidades correspondientes$$\dot{q}_{j}$$, y$$t.$$ el tiempo Las velocidades$$\mathbf{\dot{q}}$$ son las derivadas de tiempo de las coordenadas$$\mathbf{q}$$ y por lo tanto estas están relacionadas. En física, las coordenadas conjugadas fundamentales son$$(\mathbf{q,p}),$$ cuáles son las coordenadas subyacentes al hamiltoniano. Esto contrasta con$$(\mathbf{q,\dot{q}})$$ cuáles son las coordenadas que subyacen al lagrangiano. Así, el hamiltoniano es más fundamental que el lagrangiano y es una razón por la que la mecánica hamiltoniana, más que la mecánica lagrangiana, se utilizó como base para el desarrollo de la mecánica cuántica y estadística.

La mecánica hamiltoniana se derivará de otras dos formas. Capítulo$$8$$ utiliza la transformación Legendre entre las variables conjugadas$$\left( \mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t\right)$$ y$$\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right)$$ donde la coordenada generalizada$$\mathbf{q}$$ y su impulso generalizado conjugado,$$\mathbf{p}$$ son independientes. Esto demuestra que la mecánica hamiltoniana se basa en los mismos principios variacionales que los utilizados para derivar la mecánica lagrangiana. Capítulo$$9$$ deriva la mecánica hamiltoniana directamente de la acción Principio de menos de Hamilton. Capítulo$$8$$ introducirá la mecánica algebraica hamiltoniana, que se basa en la hamiltoniana. Las poderosas capacidades proporcionadas por los mecánicos hamiltonianos se describirán en el capítulo$$15$$.

This page titled 7.13: Hamiltoniano en la Mecánica Clásica is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Douglas Cline via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.