8.2: Transformación Legendre entre mecánica lagrangiana y hamiltoniana

La mecánica hamiltoniana se puede derivar directamente de la mecánica de Lagrange considerando la transformación de Legendre entre las variables conjugadas\(\left( \mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t\right)\) y\(\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right)\). Tal derivación es de considerable importancia ya que demuestra que la mecánica hamiltoniana se basa en los mismos principios variacionales que los utilizados para derivar la mecánica lagrangiana; es decir, el Principio de d'Alembert y el Principio de Hamilton. El problema general de convertir las ecuaciones de Lagrange en la forma hamiltoniana depende de la inversión de la ecuación\((8.1.1)\) que define el impulso generalizado\(\mathbf{ p.}\) Esta inversión se simplifica por el hecho de que\((8.1.1)\) es la primera derivada parcial de la función escalar lagrangiana\(L(\mathbf{q, \dot{q},t})\) .

Como se describe en el apéndice\(19.6.4\), considere las transformaciones entre dos funciones\(F(\mathbf{u,w})\)\(\mathbf{u}\) y\(G(\mathbf{v,w),}\) dónde y\(\mathbf{v}\) son las variables activas relacionadas por la forma funcional

\[\mathbf{v=\nabla }_{\mathbf{u}}F(\mathbf{u,w}) \label{8.5}\]

y donde\(\mathbf{w}\) designa variables pasivas. La función\(\mathbf{ \nabla }_{\mathbf{u}}F(\mathbf{u,w})\) es la derivada de primer orden, (gradiente) de\(F(\mathbf{u,w})\) con respecto a los componentes del vector\(\mathbf{u}\). La transformada de Legendre establece que la fórmula inversa siempre se puede escribir como una derivada de primer orden

\[\mathbf{u=\nabla }_{\mathbf{v}}G(\mathbf{v,w})\label{8.6}\]

La función\(G(\mathbf{v,w})\) está relacionada\(F(\mathbf{u,w})\) por la relación simétrica

\[G(\mathbf{v,w)+}F\mathbf{(\mathbf{u,w})=u\cdot v}\label{8.7}\]

donde el producto escalar\(\mathbf{u\cdot v}=\sum_{i=1}^{N}u_{i}v_{i}\).

Además, las derivadas de primer orden con respecto a todas las variables pasivas\(w_{i}\) están relacionadas por

\[\mathbf{\nabla }_{\mathbf{w}}F(\mathbf{u,w)=-\nabla }_{\mathbf{w}}G(\mathbf{ v,w)}\label{8.8}\]

La relación entre las funciones\(F(\mathbf{u,w})\) y\(G(\mathbf{v,w})\) es simétrica y se dice que cada una es la transformación Legendre de la otra.

La transformada general de Legendre se puede utilizar para relacionar lo lagrangiano y hamiltoniano identificando las variables activas\(\mathbf{v}\) con\(\mathbf{p,}\) y\(\mathbf{u}\) con\(\mathbf{\dot{q},}\) la variable pasiva\(\mathbf{w}\) con\(\mathbf{q,}t\), y las funciones correspondientes\(F(\mathbf{ u,w)=}L(\mathbf{q,\dot{q},}t)\) y\(G(\mathbf{v,w)=}H(\mathbf{q,p,}t )\). Así, el impulso generalizado\((8.1.1)\) corresponde a

\[\mathbf{p=\nabla }_{\mathbf{\dot{q}}}L(\mathbf{q,\dot{q},}t)\label{8.9}\]

donde\((\mathbf{q,}t)\) están las variables pasivas. Entonces la transformada de Legendre establece que la variable transformada\(\mathbf{\dot{q}}\) viene dada por la relación\[\mathbf{\dot{q}=\nabla }_{\mathbf{p}}H(\mathbf{q,p,}t)\label{8.10}\]

Dado que las funciones\(L(\mathbf{q,\dot{q},}t)\) y\(H(\mathbf{q,p,}t )\) son las transformaciones Legendre unas de otras, satisfacen la relación

\[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) \mathbf{+}L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q} },t)=\mathbf{p\cdot \dot{q}}\label{8.11}\]

La función\(H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right)\), que es la transformada Legendre del Lagrangiano\(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t),\) se llama la función hamiltoniana y la Ecuación\ ref {8.11} es idéntica a nuestra definición original del hamiltoniano dada por la ecuación\((8.1.3)\). Las variables\(\mathbf{q}\) y\(t\) son variables pasivas así Ecuación\ ref {8.8} da que

\[\mathbf{\nabla }_{\mathbf{q}}L(\mathbf{\dot{q},q,}t\mathbf{)=-\nabla }_{ \mathbf{q}}H(\mathbf{p,q},t)\label{8.12}\]

Escrito en forma de componente La ecuación\ ref {8.12} da las relaciones derivadas parciales\[\begin{align} \label{8.13}\frac{\partial L(\mathbf{\dot{q},q,}t)}{\partial q_{i}} &=&-\frac{ \partial H(\mathbf{p,q},t)}{\partial q_{i}} \\ \frac{\partial L(\mathbf{\dot{q},q,}t)}{\partial t} &=&-\frac{ \partial H(\mathbf{p,q},t)}{\partial t}\label{8.14}\end{align}\]

Tenga en cuenta que las ecuaciones\ ref {8.13} y\ ref {8.14} son estrictamente un resultado de la transformación de Legendre. Para completar la transformación de la mecánica lagrangiana a la hamiltoniana es necesario invocar el cálculo de las variaciones a través de las ecuaciones de Lagrange-Euler. La simetría de la transformada de Legendre se ilustra mediante la Ecuación\ ref {8.11}.

La ecuación\(7.6.16\) da que el producto escalar\(\mathbf{p\cdot \dot{q}=} 2T_{2}.\) Para sistemas escleronómicos, con potenciales independientes de la velocidad\(U,\) el estándar Lagrangiano\(\,L=T-U\) y\(H=2T-T+U=T+U\). Así, para este simple caso, la Ecuación\ ref {8.11} reduce a una identidad\(H+L=2T\).