8.3: Ecuaciones de movimiento de Hamilton

La forma explícita de la transformada de Legendre\((8.2.6)\) da que la derivada temporal de la coordenada generalizada\(q_{j}\) es

\[\dot{q}_{j}\mathbf{=}\frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial p_{j}}\label{8.15}\]

La ecuación de Euler-Lagrange\((6.6.1)\) es

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{j}}=\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC}\label{8.16}\]

Esto da la ecuación de Hamilton correspondiente para que la derivada de tiempo\(p_{i}\) sea

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\dot{p}_{j}=\frac{ \partial L}{\partial q_{j}}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{ \partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC}\label{8.17}\]

Sustituir la ecuación\((8.2.9)\) en la ecuación\ ref {8.17} conduce a la segunda ecuación de movimiento de Hamilton\[\dot{p}_{j}=-\frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial q_{j}} +\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC}\label{8.18}\]

Uno puede explorar más a fondo las implicaciones de la mecánica hamiltoniana tomando el diferencial de tiempo de\((8.1.3)\) dar.

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{dp_{j} }{dt}+p_{j}\frac{d\dot{q}_{j}}{dt}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\frac{ dq_{j}}{dt}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\frac{d\dot{q}_{j}}{dt} \right) -\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.19}\]

Insertar el momento conjugado\(p_{i}\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{ q}_{i}}\) y la Ecuación\ ref {8.17} en la Ecuación\ ref {8.19} da como resultado

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\dot{p} _{j}+p_{j}\frac{d\dot{q}_{j}}{dt}-\left[ \dot{p}_{j}-\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}-Q_{j}^{EXC}\right] \dot{q} _{j}-p_{j}\frac{d\dot{q}_{j}}{dt}\right) -\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.20}\]El segundo y cuarto términos cancelan así como los\(\dot{q}_{j}\dot{p}_{j}\) términos, dejando

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) -\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.21}\]

Este es el teorema de la energía generalizada dado por la ecuación\((7.8.1)\).

El diferencial total del hamiltoniano también se puede escribir como

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \frac{\partial H}{ \partial p_{j}}\dot{p}_{j}+\frac{\partial H}{\partial q_{j}}\dot{q} _{j}\right) +\frac{\partial H}{\partial t}\label{8.22}\]

Usa las ecuaciones\ ref {8.15} y\ ref {8.18} para sustituir\(\frac{\partial H}{ \partial p_{j}}\) y\(\frac{\partial H}{\partial q_{j}}\) en la ecuación\ ref {8.22} da

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt}=\sum_{j}\left( \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) +\frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{ \partial t}\label{8.23}\]

Tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {8.23} debe ser igual al teorema de energía generalizada, es decir, Ecuación\ ref {8.21}. Por lo tanto,

\[\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\label{8.24}\]

En resumen, las ecuaciones de movimiento de Hamilton vienen dadas por

\[\begin{align} \dot{q}_{j} &= \frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial p_{j}} \label{8.25}\\[4pt] \dot{p}_{j} &=-\frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial q_{j}}+ \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}} +Q_{j}^{EXC}\right] \label{8.26}\\[4pt] \frac{dH(\mathbf{q,p,}t)}{dt} &= \sum_{j}\left( \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) -\frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},}t)}{ \partial t}\label{8.27}\end{align}\]

La simetría de las ecuaciones de movimiento de Hamilton se ilustra cuando el multiplicador de Lagrange y las fuerzas generalizadas son cero. Entonces

\[\begin{align} \dot{q}_{j} &= \frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t)}{\partial p_{j}} \label{8.28}\\[4pt] \dot{p}_{j} &= -\frac{\partial H(\mathbf{p,q},t)}{\partial q_{j}} \label{8.29}\\[4pt] \frac{dH(\mathbf{p,q},t)}{dt} &= \frac{\partial H(\mathbf{p,q},t )}{\partial t}=-\frac{\partial L(\mathbf{\dot{q},q,}t)}{ \partial t}\end{align}\label{8.30}\]

Esta forma simplificada ilustra la simetría de las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Muchos libros presentan el hamiltoniano solo para este caso especial simplificado donde es holonómico, conservador, y se utilizan coordenadas generalizadas.

Ecuaciones canónicas de movimiento

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton, resumidas en ecuaciones\ ref {8.25} -\ ref {8.27} utilizan ya sea un conjunto mínimo de coordenadas generalizadas, o los términos del multiplicador Lagrange, para dar cuenta de las restricciones holonómicas, o fuerzas generalizadas para\(Q_{j}^{EXC}\) dar cuenta de fuerzas no holonómicas u otras fuerzas. Las ecuaciones de movimiento de Hamilton generalmente se denominan ecuaciones canónicas de movimiento. Nótese que el término “canónico” no tiene nada que ver con la religión o el derecho canónico; la razón de este nombre ha desconcertado a muchas generaciones de estudiantes de mecánica clásica. El término fue introducido por Jacobi\(1837\) para designar un conjunto simple y fundamental de variables conjugadas y ecuaciones. Obsérvese la simetría de las dos ecuaciones canónicas de Hamilton, más el hecho de que las variables canónicas\(p_{k},q_{k}\) son tratadas como variables canónicas independientes. \((\mathbf{q, \dot{q},}t)\)Las coordenadas mecánicas de Lagrange son reemplazadas por las coordenadas mecánicas hamiltonianas\((\mathbf{ q,p,}t),\) donde los momentos conjugados\(\mathbf{p}\) se toman para ser independientes de la coordenada\(\mathbf{q}\).

Lagrange fue el primero en derivar las ecuaciones canónicas pero no las reconoció como un conjunto básico de ecuaciones de movimiento. Hamilton derivó las ecuaciones canónicas del movimiento a partir de su principio variacional fundamental, capítulo\(9.2\), y las convirtió en la base de una teoría de la dinámica de largo alcance. Las ecuaciones de Hamilton dan ecuaciones diferenciales de\(2s\) primer orden\(p_{k},q_{k}\) para cada uno de los\(s=n-m\) grados de libertad. Las ecuaciones de Lagrange dan ecuaciones diferenciales de\(s\) segundo orden para las coordenadas generalizadas\(s\) independientes\(q_{k},\dot{q}_{k}.\)

Se ha demostrado que\(H(\mathbf{p,q},t)\) y\(L(\mathbf{\dot{q},q, }t)\) son los Legendre transforma el uno del otro. Si bien la formulación lagrangiana es ideal para resolver problemas numéricos en la mecánica clásica, la formulación hamiltoniana proporciona un mejor marco para extensiones conceptuales a otros campos de la física ya que está escrita en términos de las coordenadas conjugadas fundamentales,\(\mathbf{q,p}\). El hamiltoniano se usa ampliamente en la física moderna, incluida la física cuántica, como se discute en capítulos\(15\) y\(18\). Por ejemplo, en la mecánica cuántica existe una relación directa entre las representaciones clásica y cuántica de momenta; esto no existe para las velocidades.

El concepto de espacio estatal, introducido en el capítulo\(3.3.2\), se aplica naturalmente a la mecánica lagrangiana ya que\((\dot{q},q)\) son las coordenadas generalizadas utilizadas en la mecánica lagrangiana. El concepto de Espacio de Fase, introducido en el capítulo\(3.3.3\), se aplica naturalmente al espacio de fase hamiltoniano ya que\((p,q)\) son las coordenadas generalizadas utilizadas en la mecánica hamiltoniana.