8.4: Hamiltoniano en diferentes sistemas de coordenadas

Antes de resolver problemas utilizando la mecánica hamiltoniana, es útil expresar lo hamiltoniano en coordenadas cilíndricas y esféricas para el caso especial de las fuerzas conservadoras ya que éstas se encuentran frecuentemente en la física.

Coordenadas cilíndricas\( \rho ,z, \phi\)

Considera coordenadas cilíndricas\(\rho ,z,\phi\). Expresado en coordenada cartesiana

\[\begin{align*} x &= \rho \cos \phi \\ y &= \rho \sin \phi \notag \\ z &= z \end{align*}\]

Usando\(19.3.3,\) la tabla del apéndice el Lagrangiano se puede escribir en coordenadas cilíndricas como

\[\begin{align} L &=T-U \\[4pt] &= \frac{m}{2}\left( \dot{\rho}^{2}+\rho ^{2}\dot{\phi}^{2}+\dot{z}^{2}\right) -U(\rho ,z,\phi ) \label{8.32}\end{align}\]

Los momentos conjugados son

\[\begin{align} p_{\rho } &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\rho}}=m\dot{\rho} \\ p_{\phi } &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=m\rho ^{2}\dot{\phi} \\ p_{z} &= \frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z} \label{8.35}\end{align}\]

Asumir una fuerza conservadora, luego\(H\) se conserva. Dado que la transformación de coordenadas cilíndricas generalizadas cartesianas a no rotativas es independiente del tiempo,\(H=E.\) entonces entonces usando Ecuaciones\ ref {8.32} -\ ref {8.35} da al hamiltoniano en coordenadas cilíndricas para ser

\[\begin{align} H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) &= \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\mathbf{ q},\mathbf{\dot{q}},t) \\ &= \left( p_{\rho }\dot{\rho}+p_{\phi }\dot{\phi}+p_{z}\dot{z}\right) -\frac{ m}{2}\left( \overset{.}{\rho }^{2}+\rho ^{2}\overset{.}{\phi }^{2}+\overset{. }{z}^{2}\right) +U(\rho ,z,\phi ) \notag \\ &= \frac{1}{2m}\left( p_{\rho }^{2}+\frac{p_{\phi }^{2}}{\rho ^{2}} +p_{z}^{2}\right) +U(\rho ,z,\phi )\end{align}\]

Las ecuaciones canónicas de movimiento en coordenadas cilíndricas se pueden escribir como\[\begin{align} \dot{p}_{\rho } &= -\frac{\partial H}{\partial \rho }=\frac{p_{\phi }^{2}}{ m\rho ^{3}}-\frac{\partial U}{\partial \rho } \\ \dot{p}_{\phi } &= -\frac{\partial H}{\partial \phi }=-\frac{\partial U}{ \partial \phi } \\ \dot{p}_{z} &= -\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial U}{\partial z} \\ \dot{\rho} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\rho }}=\frac{p_{\rho }}{m} \\ \dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\phi }}=\frac{p_{\phi }}{m\rho ^{2}} \\ \dot{z} &= \frac{\partial H}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m}\end{align}\]

Tenga en cuenta que si\(\phi\) es cíclico, es decir\(\frac{\partial U}{\partial \phi } =0,\) entonces el momento angular alrededor del\(z\) eje\(p_{\phi }\),, es una constante de movimiento. Del mismo modo, si\(z\) es cíclico, entonces\(p_{z}\) es una constante de movimiento.

Coordenadas esféricas,\(r, \theta , \phi\)

\(19.3.4\)La tabla del apéndice muestra que las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas cartesianas por

\[\begin{align} x &= r\sin \theta \cos \phi \\ y &= r\sin \theta \sin \phi \notag \\ z &= r\cos \theta \notag\end{align}\]

El Lagrangiano es

\[L=T_{i}-U= \frac{m}{2}\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \dot{\phi}^{2}\right) -U(r\theta \phi )\]

Los momentos conjugados son\[\begin{align} \label{8.46} p_{r} &= \frac{\partial L}{\partial \overset{.}{r}}=m\dot{r} \\ p_{\theta } &= \frac{\partial L}{\partial \overset{.}{\theta }}=mr^{2}\dot{ \theta} \\ p_{\phi } &= \frac{\partial L}{\partial \overset{.}{\phi }}=mr^{2}\sin ^{2}\theta \dot{\phi} \label{8.48} \end{align}\]

Asumiendo una fuerza conservadora entonces\(H\) se conserva. Dado que la transformación de coordenadas esféricas cartesianas a generalizadas es independiente del tiempo, entonces\(H=E.\) así usando\ ref {8.46} -\ ref {8.48} el hamiltoniano se da en coordenadas esféricas por\[\begin{align} H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) &= \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\mathbf{ q},\mathbf{\dot{q}},t) \\ &= \left( p_{r}\dot{r}+p_{\theta }\dot{\theta}+p_{\phi }\dot{\phi}\right) - \frac{m}{2}\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \dot{\phi}^{2}\right) +U(r,\theta ,\phi ) \\ &= \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta }^{2}}{r^{2}}+\frac{p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }\right) +U(r,\theta ,\phi )\end{align}\]

Entonces las ecuaciones canónicas de movimiento en coordenadas esféricas son\[\begin{align} \dot{p}_{r} &= -\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{1}{mr^{3}}\left( p_{\theta }^{2}+\frac{p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }\right) -\frac{ \partial U}{\partial r} \\ \dot{p}_{\theta } &= -\frac{\partial H}{\partial \theta }=\frac{1}{mr^{2}} \left( \frac{p_{\phi }^{2}\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }\right) -\frac{ \partial U}{\partial \theta } \\ \dot{p}_{\phi } &= -\frac{\partial H}{\partial \phi }=-\frac{\partial U}{ \partial \phi } \\ \dot{r} &= \frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m} \\ \dot{\theta} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\theta }}=\frac{p_{\theta }}{ mr^{2}} \\ \dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_{\phi }}=\frac{p_{\phi }}{ mr^{2}\sin ^{2}\theta }\end{align}\]

Tenga en cuenta que si la coordenada\(\phi\) es cíclica, es\(\frac{\partial U}{ \partial \phi }=0\) decir,\(p_{\phi }\) se conserva el momento angular. También si la\(\theta\) coordenada es cíclica, y es\(p_{\phi }=0,\) decir, no hay cambio en el momento angular perpendicular al\(z\) eje, entonces\(p_{\theta }\) se conserva.

Un hamiltoniano esféricamente simétrico especialmente importante es el de un campo central. Los campos centrales, como los campos gravitacionales o Coulomb de una masa esférica uniforme, o cargas, distribuciones, son esféricamente simétricos y luego ambos\(\theta\) y\(\phi\) son cíclicos. Así, la proyección del momento angular\(p_{\phi }\) alrededor del\(z\) eje se conserva para estos potenciales esféricamente simétricos. Además, dado que ambos\(p_{\theta }\) y\(p_{\phi },\) se conservan, entonces el momento angular total también debe conservarse como lo predice el teorema de Noether.