8.S: Mecánica Hamiltoniana (Resumen)

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Insertar el impulso generalizado en la relación energética generalizada de Jacobi se utilizó para definir la función hamiltoniana como

\[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) =\mathbf{p\cdot \dot{q}-}L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) \label{8.3}\]

La transformación Legendre de las ecuaciones de Lagrange-Euler, condujo a las ecuaciones de movimiento de Hamilton.

\[\dot{q}_{j} = \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \label{8.25} \]

\[\dot{p}_{j} = -\frac{\partial H}{\partial q_{j}}+\left[ \sum_{k=1}^{m} \lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC}\right] \label{8.26}\]

La ecuación energética generalizada\((8.8.1)\) da la dependencia del tiempo

\[\frac{dH(\mathbf{q,p,}t\mathbf{)}}{dt}=\sum_{j}\left( \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}+Q_{j}^{EXC} \right] \dot{q}_{j}\right) -\frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}}{ \partial t} \label{8.27}\]

donde\[\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \label{8.24}\]

\(p_{k},q_{k}\)Se tratan como variables canónicas independientes. Lagrange fue el primero en derivar las ecuaciones canónicas pero no las reconoció como un conjunto básico de ecuaciones de movimiento. Hamilton derivó las ecuaciones canónicas del movimiento a partir de su principio variacional fundamental y las convirtió en la base de una teoría de la dinámica de largo alcance. Las ecuaciones de Hamilton dan ecuaciones diferenciales de\(2s\) primer orden\(p_{k},q_{k}\) para cada uno de los\(s\) grados de libertad. Las ecuaciones de Lagrange dan ecuaciones diferenciales de\(s\) segundo orden para las variables\(q_{k},\dot{q}_{k}.\)

Técnica de reducción ruiana

La técnica de reducción rutiana es un híbrido de mecánica lagrangiana y hamiltoniana que explota las ventajas de ambos enfoques para resolver problemas que involucran variables cíclicas. Es especialmente útil para resolver movimiento en sistemas rotativos en ciencia e ingeniería. Dos ruthianos se utilizan frecuentemente para resolver las ecuaciones de movimiento de los sistemas giratorios. Suponiendo que las variables entre no\(1\leq i\leq s\) son cíclicas, mientras que las\(m\) variables entre\(s+1\leq i\leq n\) son coordenadas cíclicas ignorables, entonces los dos ruthianos son:

\[ R_{cyclic}(q_{1},\dots ,q_{n};\dot{q}_{1},\dots ,\dot{q}_{s};p_{s+1},\dots .,p_{n};t) = \sum_{cyclic}^{m}p_{i}\dot{q}_{i}-L=H-\sum_{noncyclic}^{s}p_{i}\dot{q}_{i} \label{8.65} \]

\[ R_{noncyclic}(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{s};\dot{q}_{s+1},\dots .,\dot{q} _{n};t) = \sum_{noncyclic}^{s}p_{i}\dot{q}_{i}-L=H-\sum_{cyclic}^{m}p_{i} \dot{q}_{i} \label{8.68}\]

El ruthiano\(R_{cyclic}\) es un lagrangiano negativo para las variables no cíclicas entre\(1\leq i\leq s\), donde\(s=n-m,\) y es un hamiltoniano para las variables\(m\) cíclicas entre\(s+1\leq i\leq n\). Dado que las variables cíclicas son constantes del hamiltoniano, su solución es trivial, y el número de variables incluidas en el lagrangiano se reduce de\(n\) a\(s=n-m\). El Routhian\(R_{cyclic}\) es útil para resolver algunos problemas en la mecánica clásica. El ruthian\(R_{noncyclic}\) es un hamiltoniano para las variables no cíclicas entre\(1\leq i\leq s\), y es un lagrangiano negativo para las variables\(m\) cíclicas entre\(s+1\leq i\leq n\). Dado que las variables cíclicas son constantes de movimiento, la Routhian\(R_{noncyclic}\) también es una constante de movimiento pero no equivale a la energía total ya que la transformación de coordenadas depende del tiempo. El Routhian\(R_{noncyclic}\) es especialmente valioso para resolver sistemas rotativos de muchos cuerpos como galaxias, moléculas o núcleos, ya que el Routhian\(R_{noncyclic}\) es el hamiltoniano en el marco de coordenadas giratorias fijas al cuerpo.

Sistemas de masa variable:

Se utilizaron dos ejemplos de cadenas pesadas flexibles que caen en un campo gravitacional uniforme para ilustrar cómo se pueden manejar los sistemas de masa variable usando mecánica lagrangiana y hamiltoniana. El sistema de masa descendente es conservador asumiendo que se incluyen tanto el donante como el sistema del cuerpo receptor.

Comparación de mecánica lagrangiana y hamiltoniana

La dinámica lagrangiana y la hamiltoniana son dos formulaciones algebraicas variacionales poderosas y relacionadas de la mecánica que se basan en el principio de acción de Hamilton. Se pueden aplicar a cualquier grado conservador de libertad como se discute en los capítulos\(7\),\(9\), y\(16\). Los mecánicos lagrangianos y hamiltonianos se concentran únicamente en las fuerzas activas y pueden ignorar las fuerzas internas. Pueden manejar sistemas de muchos cuerpos y permitir coordenadas generalizadas convenientes de elección. Esta habilidad es poco práctica o imposible usando la mecánica newtoniana. Por lo tanto, es natural comparar las ventajas relativas de estos dos formalismos algebraicos para decidir cuáles deben ser utilizados para un problema específico.

Para un sistema con coordenadas\(n\) generalizadas, más fuerzas de\(m\) restricción que no se requieren conocer, entonces el enfoque lagrangiano, utilizando un conjunto mínimo de coordenadas generalizadas, reduce a solo ecuaciones diferenciales de\(s=n-m\) segundo orden e incógnitas en comparación con las Enfoque newtoniano donde hay\(n+m\) incógnitas. Alternativamente, el uso de multiplicadores Lagrange permite determinar las fuerzas de restricción dando como resultado ecuaciones de\(n+m\) segundo orden e incógnitas. La función potencial lagrangiana se limita a fuerzas conservadoras, los multiplicadores Lagrange se pueden utilizar para manejar fuerzas holonómicas de restricción, mientras que las fuerzas generalizadas pueden usarse para manejar fuerzas no conservadoras y no holonómicas. La ventaja de las ecuaciones de movimiento de Lagrange es que pueden lidiar con cualquier tipo de fuerza, conservadora o no conservadora, y determinan directamente\(q\),\(\dot{q}\) más\(q,p\) que con la que luego requiere\(p\) relacionarse\(\dot{q}\).

Para un sistema con coordenadas\(n\) generalizadas, el enfoque hamiltoniano determina ecuaciones diferenciales de\(2n\) primer orden que son más fáciles de resolver que las ecuaciones de segundo orden. Sin embargo, las\(2n\) soluciones deben combinarse para determinar las ecuaciones de movimiento. El enfoque hamiltoniano es superior al enfoque Lagrange en su capacidad para obtener una solución analítica de las integrales del movimiento. La dinámica hamiltoniana también tiene un medio para determinar las variables desconocidas para las cuales la solución asume una forma soluble. Las aplicaciones importantes de la mecánica hamiltoniana son la mecánica cuántica y la mecánica estadística, donde los análogos cuánticos de\(q_{i}\) y\(p_{i},\) pueden ser utilizados para relacionarse con las variables fundamentales de la mecánica hamiltoniana. Esto no aplica para las variables\(q_{i}\) y\(\dot{q}_{i}\) de la mecánica lagrangiana. El enfoque hamiltoniano es especialmente poderoso cuando el sistema tiene variables\(m\) cíclicas, entonces los momentos\(m\) conjugados\(p_{i}\) son constantes. Así, las variables\(m\) conjugadas\(\left( q_{i},p_{i}\right)\) pueden ser factorizadas fuera del Hamiltoniano, lo que reduce el número de variables conjugadas requeridas para\(n-m\). Esto no es posible utilizando el enfoque lagrangiano ya que, aunque se\(q_{i}\) puedan factorizar las\(m\) coordenadas,\(\dot{q}_{i}\) aún deben incluirse las velocidades, por lo que se deben incluir las variables\(n\) conjugadas. El enfoque Lagrange es ventajoso para obtener una solución numérica de sistemas en mecánica clásica. Sin embargo, la mecánica hamiltoniana expresa las variables en términos de las variables canónicas fundamentales,\((\mathbf{q,p})\) lo que proporciona una visión más fundamental de la física subyacente. ²